Lineare Abbildung - Dualraum

09.11.2009, 01:07

Nani

Lineare Abbildung - Dualraum

Nocheinmal ich.

Und zwar zu einer anderen Aufgabe:

[attach]11879[/attach]

Hier würde mich vor allem mal der Beweis zu 1. interessieren.
Mir ist klar, dass die Abbildung jedes Element aus W* auf V* abbildet (linear), habe jedoch Mühe, das mit der richtigen Notation wiederzugeben.

Ich bedanke mich für jede Hilfe und wünsche eine gute Nacht!

09.11.2009, 19:27

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
Hi Nani,

Auch zu dieser Aufgabe ein Tipp:
Um die Linearität der Abbildung zu zeigen, musst Du Dir $\begin{eqnarray*} \Psi_1,\Psi_2\in W^* \end{eqnarray*}$ nehmen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1+\Psi_2)=\Phi^*(\Psi_1)+\Phi^*(\Psi_2) \end{eqnarray*}$ ist.
Mit den Ausdrücken dieser Gleichung kann natürlich niemand etwas anfangen und deshalb zeigt man einfach, dass beide Seiten der Gleichung als Funktion das Gleiche machen.
Es geht um Abbildungen aus $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ und deshalb nehmen wir uns ein beliebiges $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1+\Psi_2)(v)=\Phi^*(\Psi_1)(v)+\Phi^*(\Psi_2)(v) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\lambda\Psi)=\lambda\Phi^*(\Psi) \end{eqnarray*}$ analog.

Gruß,
Reksilat.

09.11.2009, 21:00

Nani

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
Achsoo..eben, ich hätte jetzt einfach irgendwas probiert, weil, wie du gesagt hast, mann kann ja eigentlich gar nichts mit dem gegebenen anfangen, ausser eben das, was du vorgeschlagen hast.

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1+\Psi_2)(v)= (\Psi_1 + \Psi_2)^*(v) = (v)(\Psi_1 + \Psi_2) = v(\Psi_1) + v(\Psi_2) = \Psi^*_1(v) + \Psi_1^*(\Psi_2) = \Phi^*(\Psi_1)(v) + \Phi^*(\Psi_2)(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\lambda\Psi)(v) = (\lambda \Psi)^*(v) = v(\lambda \Psi) = \lambda v (\Psi) = \lambda \Psi^*(v) = \lambda\Phi^*(\Psi) (v) \end{eqnarray*}$

Phu...extrem mühsam mit den Phi und Psi's..ich hoffe, ich hab mich nirgends vertan?

Stimmt das so?

09.11.2009, 21:24

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (v)(\Psi_1 + \Psi_2) \end{eqnarray*}$

Mal ehrlich. Was soll das hier sein? Dieser Ausdruck ergibt überhaupt keinen Sinn. Wenn Du keine Ahnung hast, dann sag es einfach, aber verschwende nicht mit irgendwelchen Ratespielchen meine Zeit.

Zufällig wirst Du die Lösung niemals erhalten. Nimm Dir die eine Seite der Gleichung und forme sie um. Dafür hast Du oben eine Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi^* \end{eqnarray*}$ stehen, die Du ja einfach mal anwenden könntest.

Gruß,
Reksilat.

09.11.2009, 22:19

Nani

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
..stimmt, viel Sinn macht das nicht..

Also:

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1+\Psi_2)(v) = \Phi^*(\Psi_1(v) + \Psi_2(v)) = \Phi^*(\Psi_1)(v)+\Phi^*(\Psi_2)(v) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\lambda\Psi)= \lambda\Phi^*(\Psi) \end{eqnarray*}$ (das steht bei uns so definiert (lange gegangen mit nachschauen, aber immerhin), daher glaube ich nicht, dass man das noch gross beweisen muss)

09.11.2009, 22:24

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1(v) + \Psi_2(v)) \end{eqnarray*}$

Auch dieser Ausdruck ergibt nicht viel Sinn, denn die $\begin{eqnarray*} \Psi_i \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ , sind also nur auf Elementen von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ definiert, wohingegen $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ist.

Wie gesagt: Verwende die Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi^* \end{eqnarray*}$ .

10.11.2009, 00:25

Nani

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
Lieber Reksilat,
ich will den Theorieteil über dieses Thema dann für mich noch einmal nachlesen.
Hätte ich das von deinem zweiten Post aber gezeigt, so wäre die lineare Abbildung "bewiesen" ?
Gruss,
nani

10.11.2009, 10:58

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\Psi_1+\Psi_2)(v)=\Phi^*(\Psi_1)(v)+\Phi^*(\Psi_2)(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Phi^*(\lambda\Psi)=\lambda\Phi^*(\Psi) \end{eqnarray*}$ analog.

Genau, diese beiden Sachen sind zu zeigen.

Dafür benötigt man "nur" die Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi^* \end{eqnarray*}$ und man muss wissen, wie $\begin{eqnarray*} \Psi_1+\Psi_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot\Psi \end{eqnarray*}$
eigentlich definiert ist.

Gruß,
Reksilat.

10.11.2009, 17:10

Nani

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
So..ich habe mir die Theorie nochmals durchgelesen und mir das Ganze wirklich nochmals angesehen, deshalb bin ich auch fast ein wenig stolz, dir mein Ergebnis zu präsentieren:

$\begin{eqnarray*} \phi^*(\psi_1 + \psi_2)(v) = (\psi_1 + \psi_2)(\phi(v)) = \psi_1(\phi(v)) + \psi_2(\phi(v)) = \phi^*(\psi_1)(v) + \phi^*(\psi_2)(v) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \phi^*(\lambda \psi)(v) = (\lambda \psi(\phi(v)) = \psi \lambda (\phi(v)) = \lambda \phi^*(\psi(v)) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M^B_A(\phi)^T = M^{A^*}_{B^*}(\phi^*) \end{eqnarray*}$ ist.

Um ehrlich zu sein, habe ich heute den ganzen Nachmittag an diesem Aufgabenteil rumgebastelt, und ich kann vor lauter ** den Sternenhimmel nicht mehr sehen :P ..deshalb hab ich diesen Aufgabenteil praktisch auch schon abgeschrieben (also im Sinne von: ich kann ihn nicht ohne Hilfe lösen)
..also wenn du zu dieser Aufgabe eine Idee hast, so würde es mich natürlich sehr freuen, wenn du ein mögliches Vorgehen skizzieren könntest..

Ich bedanke mich vielmals, bis bald!

10.11.2009, 17:15

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung - Dualraum
Dafür benötigen wir allerdings die Dualraum-Basen aus der anderen Aufgabe und bevor wir das Durcheinander dort nicht beseitigt haben, sollten wir hier gar nicht erst fortfahren. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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