Hessesche Normalform Gerade / Ebene

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01.10.2006, 23:35

satyr79

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Hessesche Normalform Gerade / Ebene

hallo

ich hab da mal 3 Fragen verwirrt

bei denen ich nicht weiter komme traurig

:

hab hier teilaufgaben die ich nicht lösen kann. bin ich wohl zu blöd für...

Gegeben sei die Gerade g: $\begin{eqnarray*} x_{2} = 0,8x_{1} + 6 \end{eqnarray*}$ . Welche Form der Geradengleichung liegt vor? (Begründung)
Mein Gedanke war. explizite Form, weil sie mich sehr an die Form: y=mx+n erinnert. Weis aber nicht ob das richtig ist... $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ könnte schließlich für y stehen. ??

Man gebe die Hessesche Normalform für die gerade g an
tja, da liegt weiter mein Problem. Ich weis zwar wie man von der Hesseschen Normalform auf die implizite und dann explizite Form kommt. Aber andersherum bin ich überfragt.

Wie lautet die Hessesche Normalform der Ebene E, die durch $\begin{eqnarray*} x_{3}=0,8x_{1}-0,6x_{2}+3 \end{eqnarray*}$ gegeben ist?
Hier hab ich das selbe Problem. Die eine Richtung versteh ich. Rückwärtsrechnen bin ich zu blöd.

Kann mir da jemand von euch helfen?
Vielen Dank im vorraus!

Ralf

01.10.2006, 23:39

marci_

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zur 3. frage:

bringe es doch einfach auf eine seite und schreibe den normalenvektor auf!
berechne den normaleneinheitsvektor und bring alles dann auf diese form:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {n_0} * [ax_1+bx_2+cx_3+d]=0 \end{eqnarray*}$

02.10.2006, 02:38

JochenX

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Zitat:

Original von marci_
$\begin{eqnarray*} \frac {1} {n_0} * [ax_1+bx_2+cx_3+d]=0 \end{eqnarray*}$

was ist denn n0? und vor allem: falls n0 der normierte Normalenvektor.... was st 1/n0?

Deine Antwort würde mich als Fragesteller wohl eher mehr verwirren als mir helfen.

[at] Satyr:
wenn ihr Darstellungen der Form y=mx+n "explizite Darstellung" genannt habt, dann ist das richtig - ob y oder x2 ist doch piepsegal.

Wie sieht denn die Hessenormalenform aus? Gib erst mal dein Wissen rüber....

02.10.2006, 13:00

satyr79

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Zitat:

Original von LOED:
Wie sieht denn die Hessenormalenform aus? Gib erst mal dein Wissen rüber....

HNF bei der Gerade:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} \vec{n}^0=\rho;\vec{r},\vec{n}^0\in \mathbb R^2;\rho\in \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (\vec{r} - \vec{r_0})\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

aber keine Ahnung wie ich das rückrechnen soll von der expliziten Form der Gerade

HNF bei der ebene:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} \vec{n}^0=\rho;\vec{r},\vec{n}^0\in \mathbb R^3;\rho\in \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$

[B]oder[/B

$\begin{eqnarray*} (\vec{r} - \vec{r_0})\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

Da man wie ich hörte aus der Hesseschen Normalform die explizite Form ablesen kann mit Hilfe eines Vorzeichenwechsels. Würde ich denken das

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}{\vec{r}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -0.8 \\ 0.6 \\ 1\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

die Lösung für die HNF der Ebene wäre, aber ich hab echt keinen Plan und das mit der Gerade bekomm ich ja wie gesagt auch nich hin traurig

02.10.2006, 13:26

JochenX

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RE: Hessesche Normalform Gerade / Ebene
Okay, also haben wir ja quasi nur einen senkrechten Vektor (normieren sollte dann kein Problem mehr sein) und die rechte Seite zu suchen, um die HNF aufzustellen.
Am einfachsten suchst du dir für deine Gerade einfach mal zwei Punkte und stellst damit in Nullkommanichts eine Parameterdarstellung auf.
Im zweidimensionalen Raum findest du einen zu (a/b) senkrechten Vektor z.B. durch (-b/a).
Den normierst du und dann brauchst du nur noch die rechte Seite: Punktprobe und fertig.

Zitat:

Original von satyr79
Wie lautet die Hessesche Normalform der Ebene E, die durch $\begin{eqnarray*} x_{3}=0,8x_{1}-0,6x_{2}+3 \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Ich verstehe nicht mal diese Ebene, soll das wirklich so aussehen?

02.10.2006, 13:47

riwe

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RE: Hessesche Normalform Gerade / Ebene

Zitat:

Original von LOED
Okay, also haben wir ja quasi nur einen senkrechten Vektor (normieren sollte dann kein Problem mehr sein) und die rechte Seite zu suchen, um die HNF aufzustellen.
Am einfachsten suchst du dir für deine Gerade einfach mal zwei Punkte und stellst damit in Nullkommanichts eine Parameterdarstellung auf.
Im zweidimensionalen Raum findest du einen zu (a/b) senkrechten Vektor z.B. durch (-b/a).
Den normierst du und dann brauchst du nur noch die rechte Seite: Punktprobe und fertig.

Zitat:

Original von satyr79
Wie lautet die Hessesche Normalform der Ebene E, die durch $\begin{eqnarray*} x_{3}=0,8x_{1}-0,6x_{2}+3 \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Ich verstehe nicht mal diese Ebene, soll das wirklich so aussehen?

wieso net

$\begin{eqnarray*} 0,8x_{1}-0,6x_{2}-x_3+3=0 \end{eqnarray*}$
aber der rest?, da verstehe ich auch nur bahnhof
werner

02.10.2006, 14:27

JochenX

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OH MEIN GOTT
ich habe die Kommata als Trennzeichen gelesen Hammer

Ich dachte das sei eine Gleichung mit x3 und 2 Terme mit x1, x2

DANN isses natürlich klar Augenzwinkern

Wer schreibt denn heutzutage noch Kommazahlen?

02.10.2006, 14:31

satyr79

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es handelte sich um einer genauen Abschrift aus einem Worddokument.
Da stand ein Komma und ich habs daher auch so übernommen ... Prost

02.10.2006, 18:14

satyr79

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für die Gerade siehts wohl so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}{\vec{r}-\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \ \end{pmatrix}}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0.8 \\ -1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

bei 2 Aufgaben die ich zu so einer Rückrechnung gefunden habe wurde immer folgende theorie benutzt.

implizite form: $\begin{eqnarray*} ax+by+c=0 \end{eqnarray*}$
explizite form: $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$

um von der impliziten form auf die explizite zu kommen, rechnet man folgendes:
$\begin{eqnarray*} y=-{\frac{ax}{b}}-{\frac{c}{b}} \end{eqnarray*}$

somit muss ich annehmen das $\begin{eqnarray*} b= -1 \end{eqnarray*}$ ist damit die theorie praxis wird.

demzufolge ist:
$\begin{eqnarray*} x_2=0.8x_1+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-{\frac{0.8x_1}{-1}}-{\frac{6}{-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0.8x_1-1x_2+6 \end{eqnarray*}$

hierraus kann man jetzt die werte für o.g. HNF ablesen.

//--------------------------

für die Ebene so wie ichs vorhin schon notiert habe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}{\vec{r}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -0.8 \\ 0.6 \\ 1\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

hier kann mans vom prinzip aus der expl. form ablesen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}{\vec{r}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ n \end{pmatrix}}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -m_xx \\ -m_yy \\ -m_zz\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

sicher bin ich mir aber nich unglücklich

02.10.2006, 18:32

JochenX

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Hab mal nur die Gerade nachgerechnet - das passt, das ist aber nur die Hesseform. Für die Hesse Normalenform müsstest du den Normalenvektor noch normieren.

(denke ich)

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Hessesche Normalform Gerade / Ebene

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