komplexe Wurzeln

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10.11.2009, 10:44	Stift82	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Wurzeln Hallo Leute, habe Probleme mit den komplexen Wurzeln, dazu hier mal eine Aufgabe: $\begin{eqnarray} z = \sqrt{- 5 + 12i} \end{eqnarray}$ ...habe schon paar mal versucht, die Aufgabe zu lösen, allerdings komme ich nicht auf die Lösung: $\begin{eqnarray} z0 = 2 + 3i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z1 = - 2 - 3i \end{eqnarray}$ ...habe versucht die Aufgabe, wie im Buch beschrieben über die Exponentialform zu lösen und mit den n-ten Teilen zu dividieren, leider ist der Winkel nach arctan auch schlecht ins Bogenmaß zu bringen... Wäre schön, wenn mir dazu mal jemand den Lösungsweg zeigen könnte... Vielen Dank schonmal im Voraus.
10.11.2009, 15:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sucht eigentlich niemand im Board? Gerade diese Thematik wird oft und oft gefragt. Wurzel aus komplexer Zahl Nur ein Thread von vielen. mY+ Ein etwas langer Thread, aber auch daraus ist zu lernen: Komplexe Gleichung
11.11.2009, 12:05	Stift82	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, vielen Dank für deine Antwort, ich habe das Thema nun mal durchgearbeitet und auf meine Komplexe Wurzel angewandt. Nun kam ich auch zu den Lösungen, allerdings musste ich dabei immer in der Klammer $\begin{eqnarray} \left(cos\alpha + isin\alpha \right) \end{eqnarray}$ das Vorzeichen vom $\begin{eqnarray} \sin \alpha \end{eqnarray}$ umkehren. Ist das denn generell so, das für einen negativen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ das Vorzeichen zur Aufhebung der Reaktion, der ungeraden Funktion gedreht werden muss?
11.11.2009, 12:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es muss immer auf Grund der Vorzeichen beider Komponenten zunächst festgestellt werden, in welchen Quadranten der Zeiger hinweist. Dann erst ist daraus der korrekte Winkel zu ermitteln. Bei -5 + 12i liegt demgemäß der Winkel im 2. Quadranten. Das ist auch bereits aus dem negativen Vorzeichen des Tangens $\begin{eqnarray} \tan \varphi = \frac{-12}{5} \end{eqnarray}$ ersichtlich. Dabei muss man aber aufpassen, denn der Tangens ist auch im 4. Quadranten negativ. Eindeutige Verhältnisse schaffen hingegen cos und sin, denn $\begin{eqnarray} \cos \varphi = -\frac 5 {13} \ \text{und} \ \sin \varphi = \frac{12}{13} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich eindeutig der Winkel im 2. Quadranten. mY+
11.11.2009, 12:46	Stift82	Auf diesen Beitrag antworten »
...gut, das hab ich dann verstanden... nun ist mir allerdings noch etwas aufgefallen, denn in der Lösung sind mein Realteil und der Imaginärteil verdreht...also anstelle von $\begin{eqnarray} z = 2 + 3i \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} z = 3 + 2i \end{eqnarray}$ raus. Habe nur an den Aufgaben sehen können, das es was mit dem Vorzeichen vom Realteil unter der Wurzel zu tun haben muss... Wie kommt das zustande? (Habe meine komplexe Zahl mithilfe der Zusammenhänge in der Polarform wieder aus der Exponentialform in die algebraische Form gewandelt...)
11.11.2009, 12:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss ja nicht, WIE du das gerechnet hast, das Resultat ist jedenfalls nicht richtig, denn $\begin{eqnarray} (3 + 2i)^2 = 5 + 12i \end{eqnarray}$ , wie leicht festzustellen ist. Offensichtlich wurden im Verlauf der Rechnung der Real- und Imaginärteil vertauscht. mY+
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11.11.2009, 13:26	Stift82	Auf diesen Beitrag antworten »
....als ich den radius für die Exponentialform berechnet habe, musste ich in $\begin{eqnarray} r = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} -5 \end{eqnarray}$ quadrieren... Könnte das die Ursache sein, das die beiden -Teile verdreht sind...habe auch die entgegengesetzte Aufgabe mit dem positiven Realteil von 5, für die, die Lösung richtig wäre. Wie muss ich sonst vorgehen, wenn ich nicht quadrieren kann?
11.11.2009, 13:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht die Ursache, r kommt dann sowieso positiv und richtig heraus. Was du und WIE du gerechnet hast, entzieht sich leider nach wie vor unserer Kenntnis! Bei der a, b - Methode ist die -5 natürlich nicht zu quadrieren. Das System in a, b muss bei richtiger Umformung schließlich lauten $\begin{eqnarray} a^2 - b^2 = -5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2ab = 12 \end{eqnarray}$ ----------------------- $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^4 + 5a^2 - 36 = 0 \end{eqnarray}$ Die rellen Lösungen obiger Gleichung sind die richtigen a, und daraus folgen die zugehörigen b. mY+
11.11.2009, 23:47	Stift82	Auf diesen Beitrag antworten »
...die a,b-Methode funktioniert super und einfach...ich glaube, ich werde in Zukunft lieber damit rechnen... ..wegen meinem Lösungsweg kann ich mal in der Vorlesung nachfragen... dann, vielen Dank für die ganze Unterstützung Liebe Grüße Stift82

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