[Artikel] Punkte auf der x-Achse, die Elemente von Tangenten sind

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[Artikel] Punkte auf der x-Achse, die Elemente von Tangenten sind
Die Aufgabe, die ich lösen soll, lautet wie folgt:

Die Kurve K im sei durch die Gleichung gegeben.

Für einen Punkt auf K bezeichne die Tangente an die Kurve im Punkt Q.

Man bestimme für einen Punkt P = (a,0) auf der x-Achse alle Punkte Q, deren Tangente durch P geht.


Die Kurve K sieht hierbei wie folgt aus:

[attach]11910[/attach]
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Punkte auf der x-Achse, die Elemente von Tangenten sind
Grundsätzliche Überlegungen:
Da hier nicht nach einer gründlichen Kurvendiskussion gefragt wird, begnügen wir uns
mit der Graphik, auf der wir erkennen, dass die Kurve bei (0;0) einen relativen Tiefpunkt
hat. Die x-Achse ist daher Tangente an K und alle Punkte (a;0) mit beliebigem
liegen einmal auf dieser einen Tangente.
Diese eine Tangente halten wir einmal fest und reden jetzt nur noch von weiteren Tangenten.

Das Bild des Graphen zeigt noch einen Wendepunkt bei (1/3;2/27), einen relativen
Hochpunkt bei (2/3;4/27) und einen Nullpunkt bei (1;0).

Der Punkt (1;0) ist Element der Kurve und hat eine Tangente. Lassen wir jetzt in Gedanken
größer werden und den Punkt nach rechts wandern. Es ist leicht zu erkennen, dass diese Punkte
zwei Tangenten haben, wobei der Berührpunkt der einen Tangente in der Nähe des Hochpunktes liegt,
der andere im negativen y-Bereich liegt. Je größer wird, desto mehr nähert sich
der eine Berührpunkt dem Hochpunkt und wandert der zweite B-Punkt in den negativen y-Bereich.

Wenn wir verkleinern und den Punkt von (1;0) an nach links wandern lassen, gibt es
vorerst keine Tangente, denn wir sind ja im konkaven Bereich der Kurve. Erst von der Stelle an,
an der die Tangente des Wendepunktes die x-Achse schneidet (1/9;0), gibt es wieder eine Tangente; und
dies gilt bis in's negative Unendliche der x-Werte. Ausgenommen ist (0;0), an der wie gesagt nur die
x-Achse Tangente ist.

Berechnungen:
Es sei der Berührpunkt der Tangente an der Kurve K.
Wenn die Tangente durch den Punkt (a ; 0) geht, gilt für ihre Steigung:



Ebenso gilt:

Durch Gleichsetzen erhält man:



kann durch die Funktionsvorschrift ersetzt werden, sodass wir fortfahren können mit:









Ausklammern von x:


Aus der ersten Lösung folgt, dass die Punkteschar (a; 0) mit beliebigem auf der Tangente liegen, die durch den Punkt (0;0) der Kurve geht; die x-Achse ist generell für diese Aufgabe eine Tangente.
Die Nullsetzung des Klammerausdrucks bringt die Lösungen für die weiteren Tangenten.





An dieser Stelle ist eine kurze Überlegung angebracht. Die Lösung der obigen Gleichung ermittelt den x-Wert des Punktes Q auf der Kurve, dessen Tangente durch (a;0) geht.
Von der Determinante hängt die Anzahl der Lösungen ab, d. h.:







Da der Bruch in der Determinante für die folgenden Berechnungen keine Bedeutung hat, können wir ihn weglassen und wir können umformen:









Zusammenfassend kann gesagt werden, dass es für alle Punkte (a;0) mit beliebigem eine Tangente für den Punkt (0;0) gibt, welche gleichzeitig die x-Achse ist.

Zusätzlich gibt es im Bereich

1 Tangente

keine Tangente

1 Tangente

keine Tangente

1 Tangente

2 Tangenten

Siehe auch dieses Dokument über Tangentengleichung
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