Beweise Mengenabbildungen

Neue Frage »

MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise Mengenabbildungen
Guten Abend miteinander. Darf euch wieder mit Fragen beglücken.
Ich bin gerade bei einer Aufgabe über Beweise der Teile eines Satzes über Mengenabbildungen. Aber da das Buch keine Lösungen hat, bitte ich euch meine Beweise zu kontrollieren.

Satz: Es sei eine Abbildung. Dann gelten für die von f induzierten Mengenabbildungen:


ist eine Indexmenge.

Beweis:
Um die Implikation zu beweisen, muss man lediglich die Gleichheit der beiden Abbildungen beweisen, da die Vorraussetzung ja als wahr angenommen wird. Ist die Vorraussetzung wahr, so sind definiert.

Beweis der Gleichheit:


Ich danke den Helfern schon im Vorraus. Gott
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise Mengenabbildungen
Zitat:
Original von MrPSI
Um die Implikation zu beweisen, muss man lediglich die Gleichheit der beiden Abbildungen beweisen, da die Vorraussetzung ja als wahr angenommen wird. Ist die Vorraussetzung wahr, so sind definiert.

Diesen Satz verstehe ich gar nicht - davon abgesehen, dass f(....) hier MENGEN und keine Abbildungen sind [Bildmenge.....].



Der Beweis ist an sich richtig, aber so ganz bin ich vom Aufschreiben noch nicht einverstanden.
Da steigst du dann aber selbst durch, denke ich.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, der Beweis an sich stimmt.

Um das Unverstaendnis zu loesen, muss ich wohl zeigen, wie die Vereinigungsmenge in meinem Buch definiert ist:

Es sei X eine Menge und sei eine Familie von Teilmengen von X.
Dann ist die Vereinigungsmenge definiert als

Die Vereinigungsmenge ist also definiert, wenn alle in X liegen. Und damit sind auch f(...) etc. definiert.

Ich wollte damit nur ausdruecken, dass diese Mengen immer ohne irgendwelche Einschraenkungen existieren.
Ich weiss nicht, ob das richtig, falsch oder ueberfluessig war, aber ich bin halt noch blutiger Anfaenger.

Ich würde gern noch einen Beweis bringen, doch es ist spät und deshalb mach ich morgen weiter.

Danke für deine Antwort. smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise Mengenabbildungen
Zitat:
Original von MrPSI
Beweis der Gleichheit:


Das hier gilt höchstens für injektive Funktionen und ist iA nicht korrekt, zB

Vermutlich meinst du hier das Richtige:

Im Beweis müsstest du ferner noch darüber nachdenken, was passiert, wenn die indizierten Mengen leer sind.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das war eine der Unklarheiten, die mich am Aufschreiben gestört haben.



Ich hatte gelesen als "ein Element aus f(A) mit Urbild in A", so wie es vermutlich auch gemeint war.
Aber du hast recht, das ist mehr als nur schlecht aufgeschrieben, das ist falsch.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich weiss, worauf ihr hinauswollt: Ich habe es so aufgeschrieben, dass man meint, dass jedes f(x) nur einmal angenommen wird. Ich hatte allerdings auch nicht-injektive Funktion im Hinterkopf.

Nehmen wir mal Abakus' Beispiel:





So hatte ich das eigentlich gemeint. Aber es ist wohl zu unpräzise. Abakus' Schreibweise ist da wirklich besser.
War das nun der Fehler den ich gemacht habe? Stimmt der Rest bzw. restliche Beweis dann (noch)?

//edit:
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise Mengenabbildungen
Zitat:
Original von MrPSI
War das nun der Fehler den ich gemacht habe? Stimmt der Rest bzw. restliche Beweis dann (noch)?


Du könntest präziser formulieren, dann stimmt es schon. Der Knackpunkt ist hier die Art und Weise, wie du Formeln mit Quantoren/Aussagen aufstellst.

Zitat:


Hier schwebt das x irgendwie im Raum. Gehört davor ein Existenzquantor oder gilt das für alle oder spezielle x ?


Zitat:



Hier hängt das f(x) im Raum. In der letzten Zeile steht nur eine Menge, aber keine Aussage.

Grüße Abakus smile
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Oja, da hab ich einiges verpatzt, und der Schluss ist unvollständig.

Ein neuer Versuch:



Passt das nun so?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI



Der Fehler von oben mit dem Anfang ist noch drin. Die erste Äquivalenz ist falsch: in der ersten Aussage ist x fest, in der zweiten existiert lediglich irgendein x (das ist nicht dasselbe).

Die dritte Aussage bedeutet soviel wie, dass mindestens eine der indizierten Mengen mindestens ein Element enthält. Von der Behauptung ist das weit weg.

Ich versuch mal eine Richtung:





Eine andere Möglichkeit wäre ein Beweis mit etwas mehr erklärenden Text. Das liest sich schneller: Sei . Dann existiert ein x mit ... usw.

Grüße Abakus smile
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kehrrichtung wird dann wohl nicht mehr so schwer sein:

Aus folgt, dass es mindestens ein sowie mind. ein gibt, sodass ist. Folglich gilt, dass es mind. ein mit mind. einem gibt, sodass und daraus wiederum, dass es (mind.) ein existiert, damit .
Somit ist mind. ein vorhanden, womit und schlussendlich folgt.

Das sollte nun so passen, was auch endlich Zeit wird, wenns mir jemand vormacht. Hammer

Ich danke euch beiden vielmals. smile

Ich werde aber den Thread noch für weitere Fragen/Beweise in Betracht ziehen, hab aber momentan wenig Zeit dafür.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »