allgemeine Fragen zu Vektorraeumen

11.11.2009, 17:50

pipesmoker

allgemeine Fragen zu Vektorraeumen

Hallo,
wir behandeln gerade lineare Vektorraeume, dabei ist mir noch einiges Unklar:
Zum Beispiel hat der Prof geschrieben:
1. $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R};V \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}-VR \end{eqnarray*}$
Wieso ist das so? Wenn V = der Menge der reellen Zahlen ist, wieso ist V dann ein Vektorraum ueber den Koerper der rationalen Zahlen?

2. $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1x+a_2x^2 \curvearrowright n=2; Dimension = n+1 \curvearrowright 3-dimensional \end{eqnarray*}$ Wieso folgt daraus, dass der Polynom 3-dimensional ist?
Fuer mich sieht das Ding aus wie die Funktion einer Parabel, und die ist doch zweidimensional, oder?

3. Worin liegen die Unterschiede zwischen Linearkombination und span?
Ich habe mir aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} w=\alpha_1\cdot v_1+...+\alpha_k\cdot v_k = Linearkombination (LK) \end{eqnarray*}$ ,
eine Zeile spaeter heisst es:
$\begin{eqnarray*} M\subseteq V; M\neq \emptyset \curvearrowright span(M)=\lbrace\alpha_1\cdot v_1+...+\alpha_k\cdot v_k | \alpha_i \in K; v_i \in M; k \in \mathbb{N}\rbrace \end{eqnarray*}$ = Menge aller LK.

Woran erkenne ich den Unterschied zwischen einer Linearkombination (LK) und span?
Was bedeutet ueberhaupt dieses span?

ich waere wirklich sehr gluecklich ueber eine aufklaerende und helfende Antwort :-)

Vielen Dank im Voraus,
Gruss
Pipesmoker

11.11.2009, 18:45

tigerbine

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RE: allgemeine Fragen zu Vektorraeumen
1.Was braucht man für einen Vektorraum? http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition

IR wird hier nur als die abelsche Gruppe betrachtet. Man wählt dann Q als Skalarkörper K. Das ist aber keine Definition. sondern bestimmt ein Beispiel in deinem Skript.

2. Das Polynom ist nicht Dreidimensional. Das Polynom ist hier einfach nur Element eines Vektorraums. Wir schauen uns die einfachste Basis eines Polynom-VR an. Die Monombasis. 1,x,x²,x³ etc... Wir müssen also bis x² gehen. Das macht eine Basis der Länge 3 (1,x,x²).

3. Eine konkrete LK versus die Menge alles LK

11.11.2009, 18:51

Elvis

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1. $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe, $\begin{eqnarray*} *: (\mathbb Q,\mathbb R)\to \mathbb R, (a,x) \to a\cdot x \end{eqnarray*}$ ist eine skalare Multiplikation. Alle Vektorraumaxiome erfüllt, also Vektorraum.

zu 2. und 3. brauche ich nichts mehr sagen, Tigerbine war schneller

11.11.2009, 19:06

pipesmoker

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ich danke euch :-)
allerdings ist mir das mit den Dimensionen immer noch nicht klar. Wieso steht dann hier, dass das Polynom 3-dimensional ist?
Heute wurde uns eine Definition gegeben, mit der ich in dem Zusammenhang noch weniger anfangen kann:
"Sei V ein K-VR. Die Dimension von V ist unendlich, falls V keine endl. Basis, anderenfalls n, falls V eine Basis mit n Elementen hat".
In meinem Fall wuerde es doch wirklich bedeutet, dass der Polynom dreidimensional ist, oder nicht?
Wie kann ich dann diese Definition verstehen? Was hat es mit den Dimensionen auf sich?

11.11.2009, 19:10

tigerbine

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Das Polynom ist Element eines Dreidimensionalen Vektorraums. Dessen Basis lautet (1,x,x²). Seine Koordinaten bzgl. der Basis lauten (a0, a1, a2)

11.11.2009, 19:29

Elvis

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@pipesmoker
Du mußt aufhören die Begriffe durcheinander zu bringen. Dein Prof redet von n-dimensionalen Vektorräumen, das ist sinnvoll. Du redest von n-dimensionalen Vektoren, das ist sinnlos.

11.11.2009, 19:51

pipesmoker

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Danke fuer eure Antworten, aber ich habe immer noch ein paar Probleme damit.
Dass das Polynom einem Vektor entspricht, war mir nicht bewusst. Klar, wie soll man sonst den Bogen zu Vektorraeumen schliessen, jetzt weiss ich es auch, danke :-)

Zitat:

Original von Elvis
...von n-dimensionalen Vektorräumen, das ist sinnvoll. Du redest von n-dimensionalen Vektoren, das ist sinnlos.

Heisst das dann, dass dieses Polynom einen drei-dimensionalen VR aufspannt? Oder wie kann ich mir vorstellen, dass aus einem Polynom ein Vektorraum folgt?

11.11.2009, 19:55

Elvis

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Immer noch Unsinn. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Sonst nichts. Der spannt nichts auf (zunächst mal). Aus dem folgt nichts. Lass das Drumherumgerede, das bringt nichts.

13.11.2009, 21:52

pipesmoker

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Wenn es Unsinn ist, dann verrate mir doch die Antwort. Und wieso verweist man hier im Forum auf irgendwelche Definitionen? Das ist doch totaler Quatsch!
Wenn ich krank bin und ich gehe zum Arzt, dann moechte ich doch auch nicht wissen, auf welcher Lexika-Seite meine Krankheit erklaert und deren Gegenmittel aufgelistet sind, sondern ich moechte, dass er mir eine Loesung meines Problemes vorschlagt.
Wenn ihr dazu nicht in der Lage seid bzw. dies nicht moechtet, wieso antwortet ihr dann? Denkt ihr, ich bin zu bloed, um Google zu nutzen?
Denkt ihr, ich verstehe die Mathematik nicht? Ich liebe die Mathematik, sonst wuerde ich es nicht studieren. Ich moechte mich aber nicht damit zufrieden geben, dass ich das Richtige vermute, sondern ich moechte mir sicher sein, dass ich das richtige weiss.
Aber scheinbar ist es dem King of Rock'n'Roll egal, was die Leute von seinen Beitraegen halten. Ich hoffe nicht, dass du ein Lehrer bist, weil du den Eindruck machst, dass du nicht sehr geduldig bist und Leuten, die Mathematik nicht auf Anhieb begreifen, schnell den Laufpass gibst.

Ich bin zwar nur ein einfacher Mathematik-Student, also ein Nichts im Vergleich zu dem Elvis, aber denk trotzdem bitte mal darueber nach.

13.11.2009, 21:58

tigerbine

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Elvis und ich meinen das nicht böse. Aber du willst mehr sehen, als da ist. Ich denke, viele wollten das im ersten Semester LinA. Bis man dann endlich im Licht des IR^n aufgeht.

Ein Vektor ist Element eines Vektorraums. Was ein Vektorraum ist, steht in seiner Definition. Mehr ist da nicht drin zu sehen. So einfach kann die Mathematik auch einmal sein.

Die Vektoren hier im Beispiel sind nun Elemente eines 3D-Raums. Dennoch kann 1 Vektor nur einen 1D Raum aufspannen (maixmal). Anschaulich ist eine Gerade im Raum eben nur eindimensional (Stell dir vor du musst drauf laufen).

Was du aus der Schule von Vektoren weißt (analytische Geoemtrie) wird dir i.A. in LinA im Wege stehen. Arbeite nur mit dem was gegeben ist. Und das sind in der Mathematik zuallerest einmal die Definitionen.

14.11.2009, 09:38

Elvis

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@pipesmoker

Bleib cool, Mann. Über Mathematik muss man sich nicht aufregen.
Mathematik fängt mit Definitionen an, danach kann man Sätze formulieren und beweisen, Definitionen und Sätze bilden Theorien, das und nicht mehr ist Mathematik.
Daher sind Definitionen nicht "Quatsch", sondern das worum es in der Mathematik geht.

P.S. Wenn du Antworten willst, musst du Fragen stellen. Wenn ich weiss, dass deine Fragen falsch gestellt sind, sage ich dir das. Dann kannst du dich über mich ärgern und weiter glauben, deine Fragen seien berechtigt, oder du denkst über deine Fragen nach (es könnte ja unter Umständen sein, dass auch du nicht immer recht hast Augenzwinkern

)

14.11.2009, 13:38

pipesmoker

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Moin moin,
ich weiss, dass Definitionen in der Mathematik wichtig sind, aber ich verstehe manche Definitionen nicht so richtig, manche moechte ich auch nicht verstehen, auch wenn sie 'mathematisch' klar formuliert sind. Ich moechte so viele Informationen wie moeglich zu einem Thema haben, deswegen gebe ich mich mit einer kurzen Definition irgendwie nicht zufrieden. Ich habe mich vorhin eher daran gestoert, dass hier Links von Wikipedia gepostet werden. Das kann man auch googeln. Ist so ein Forum nicht dafuer da, um kompetente Leute mit weniger kompetenten zu verbinden, um einen Wissensaustausch anzuregen?

Wie dem auch sei, ich moechte nicht mehr darauf herumreiten.

@tigerbine - ich danke dir fuer deine Antwort, das stimmt schon. Aber ich muss sehr viel lesen, um mir eine Vorstellung vom R^n zu machen, oder besser: um mir eine Vorstellund davon zu machen, dass man sich das nicht vorstellen kann. In der Schule konnte man alles zeichnen, da ging das noch. Nun haben wir gekruemmte Ebenen im R^n, auf denen ich Dreiecke mit beliebiger Innenwinkelsumme konstruieren kann. Das kann ich mir nicht richtig vorstellen. Kennt ihr ein gutes Buch, was einem erst-Semestler die lineare Algebra etwas naeher bringt?

Schoenes Wochenende noch,
Pipesmoker

14.11.2009, 13:55

kiste

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RE: allgemeine Fragen zu Vektorraeumen

Zitat:

Original von pipesmoker
1. $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R};V \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}-VR \end{eqnarray*}$
Wieso ist das so? Wenn V = der Menge der reellen Zahlen ist, wieso ist V dann ein Vektorraum ueber den Koerper der rationalen Zahlen?

Das ist so weil alle Forderungen für einen Vektorraum erfüllt sind.
Ein tolles Beispiel übrigens um von der Vorstellung die man aus der Schule von Vektorräumen hat wegzukommen denn das ist ein unendlich-dimensionalen Vektorraum!
Allgemein gilt:
Sind $\begin{eqnarray*} K,L \end{eqnarray*}$ Körper mit $\begin{eqnarray*} K\subset L \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.
Das hat große Anwendung in der Algebra!

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1x+a_2x^2 \curvearrowright n=2; Dimension = n+1 \curvearrowright 3-dimensional \end{eqnarray*}$ Wieso folgt daraus, dass der Polynom 3-dimensional ist?
Fuer mich sieht das Ding aus wie die Funktion einer Parabel, und die ist doch zweidimensional, oder?

Es geht nicht darum wie die Funktion aussieht. Alle Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ bilden auch einen Vektorraum, dieser ist unendlich-dimensional. Trotzdem kann man alle Funktionen "2-dimensional" zeichnen.
Hier geht es vielmehr darum dass du 3 freie Parameter aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu wählen hast.

Allgemein gilt: Jeder n-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ . Ein Segen und ein Fluch zugleich dieser Satz.
Ein Segen weil er sehr einfach endlich-dimensionale Vektorräume beschreibt, ein Fluch weil dann studenten an ihrer Schulvorstellung festhalten ;-)

Zitat:

Woran erkenne ich den Unterschied zwischen einer Linearkombination (LK) und span?
Was bedeutet ueberhaupt dieses span?

Du hast doch bereits geschrieben dass der span eine Menge von LK ist. Das sollte ein klarer Unterschied sein.
Span bedeutet Aufspann von Vektoren, es ist der kleinste Untervektorraum der alle diese Vektoren enthält

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