Kompostion,Beweise und Beispiele

11.11.2009, 20:30	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompostion,Beweise und Beispiele Leute ich hab ne Frage, und zwar geht es darum zu beweisen, dass f,g injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ g o f injektiv Ist es hier möglich einfach zu sagen, dass wenn f injektiv ist, die ganze Verkettung injektiv ist?? Danke für eure Antworten
11.11.2009, 20:53	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Aussage stimmt. Und der Beweis ist auch sehr kurz, wenn man Injektivität durch die Forderung $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \qquad \textrm{für alle } x, y \in D_f \end{eqnarray}$ beschreibt. Seien x, y zwei Elemente des Definitionsbereichs von g o f. $\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) \Rightarrow g(f(x)) = g(f(y)) \Rightarrow \ldots \Rightarrow x = y \end{eqnarray}$ Und bei dem Beweis benutzt Du, dass g(a) = g(b) => a = b und f(a) = f(b) => a = b für alle entsprechenden Objekte a und b gilt. // Dass die Injektivität von f schon ausreicht, ist natürlich nicht richtig. Wenn zwei Funktionswerte f(x), f(y) bei der Funktion g auf ein Objekt abgebildet werden, werden x und y durch g o f ja auf genau dieses Objekt abgebildet.
11.11.2009, 21:20	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit diesem Beweis hab ich meine Probleme, ich kann das nicht ganz nachvollziehen mit x und y und der Verkettung insgesamt Injektivität fängt doch hier an: $\begin{eqnarray} \forall a,b\in A: a\neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \end{eqnarray}$
11.11.2009, 21:29	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn Du auf der Formulierung $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \end{eqnarray}$ bestehst... Zu zeigen ist: Wenn f und g injektiv sind, dann auch g o f. Das heißt, dann gilt $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow (g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(b) \end{eqnarray}$ Dabei ist (g o f)(a) definitionsgemäß g(f(a)), und (g o f)(b) ist g(f(b)). Also Du musst zeigen $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow g(f(a)) \neq g(f(a)) \end{eqnarray}$ Als Ansatz: $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \end{eqnarray}$ Denn f sollte ja injektiv sein. Wie geht es dann weiter?
11.11.2009, 21:36	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
g ist dann auch injektiv, also gilt: $\begin{eqnarray} a\neq b \Rightarrow g(a)\neq g(b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(f(a)) \neq g(f(b)) \Rightarrow a\neq b \end{eqnarray}$
11.11.2009, 21:45	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ am Ende ist falsch. Die Reihenfolge ist doch so: Seien a, b Elemente von D(g o f) $\begin{eqnarray} a \neq b \quad \Rightarrow \quad \underbrace{f(a) \neq f(b)}_{\substack{ \textrm{da } f \textrm{ injektiv} \\ \textrm{und } a, b \in D_f }} \quad \Rightarrow \quad \underbrace{g(f(a)) \neq g(f(b))}_{\substack{ \textrm{da } g \textrm{ injektiv} \\ \textrm{und } f(a), f(b) \in D_g }} \quad \Rightarrow \quad (g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(b) \end{eqnarray}$
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11.11.2009, 21:48	sin(x²)= 99	Auf diesen Beitrag antworten »
ok verstehe, aber das ist dann auch äquivalent zueinander stimmts?? Also wenn f,g injektiv ==> g o f injektiv dann ist auch g o f injektiv ==> f injektiv stimmt das?
11.11.2009, 22:03	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Aber aus der Injektivität der Verkettung g o f kann man nur die Injektivität der inneren Funktion f folgern. Die äußere kann nicht-injektiv sein, obwohl die ganze Verkettung injektiv ist. Wenn z. B. g(a) = g(b) mit a ungleich b gilt, aber nur die Stelle a von f getroffen wird, kann g o f sehr wohl injektiv sein.

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