Abelsche Gruppe, Körper , Vektorraum |
| 12.11.2009, 20:44 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abelsche Gruppe, Körper , Vektorraum Ja die obigen Themen haben wir bereits durchgenommen und jetzt wollte ich einfach mal ein paar Verständnisfragen loswerden (werde aus wikipedia nicht wirklich schlau). 1. Gruppe Eine Gruppe ist meiner Auffassung nach eine Menge, deren Elemente über eine Rechenvorschrift verknüpft sind. Z.B. die Menge der natürlichen Zahlen die mit + verknüpft sind und dann müssen eben einige Regeln dabei gelten Also , würde ja bedeuten, dass ich dann von einer Gruppe spreche wenn gilt: a+b=b+a a und b sind eben Elemente dieser Menge (natürliche Zahlen) Meine Auffassung ist sicherlich falsch Laut Wikipedia erhält man eine Gruppe aber nur wenn man die Elemente per Multiplikation verknüpft: (M,*) , d.h. ich habe Elemente von M (a,b) und dann müssen Regeln wie Assoziativität ... erfüllt sein. Also spreche ich bei einer Gruppe also nur , wenn ich Elemente über multiplizieren verknüpfe und dann eben die Regeln (Neutrales Element, Assozi....) beachten muss Gibt es auch eine Menge G die über + verknüpft ist und dann an Regeln gebunden ist, damit sie einen Namen (wie Gruppe) erhält? Bevor ich mit abelsche Gruppe, Körper und Vektorraum fortfahre erstmal bis dahin... Hoffentlich hier richtig. Gruß Gualtiero |
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| 12.11.2009, 21:18 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Abelsche Gruppe, Körper , Vektorraum Ist das nicht schon Hochschulmathe? Wenn ja, welches Fachgebiet? - Ich verfrachte Dich dann. 
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| 12.11.2009, 22:54 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
öhm weiß nich ob das zu hochschulmathe gehört, könnte sein...dann verfrachte mich mal in die algebra 1-3 ? |
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| 12.11.2009, 23:14 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Ich würde eine Gruppe als Struktur ansehen, zu der eine Grundmenge von Objekten und eine auf dieser Grundmenge definierte Verknüpfung gehören. Natürlich kann man auch von einer „Menge mit Verknüpfung“ o. ä. sprechen, aber der Begriff Struktur trifft es meiner Meinung nach am besten. Das mit der Multiplikation und der Addition hast Du missverstanden. Gruppen beziehen sich auf jede Art von Verknüpfung, also die Verknüpfung kann beispielsweise auch die Durchschnittsbildung bei Mengen sein. Dass die Verknüpfung von allgemeinen Gruppen z. T. als Addition oder Multiplikation geschrieben wird, ist nur eine symbolische Schreibweise. Damit ist nicht die „echte“ Addition oder Multiplikation reeller Zahlen gemeint, sondern eine abstrakte Verknüpfung. |
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| 15.11.2009, 14:40 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das verstehe ich nicht ganz, könntest Du/Ihr mir das mit einem Beispiel erklären? Weil wenn ich habe: bedeutet das ja, dass ich die ganzen Zahlen mit "plus" verknüpfe und wenn die Regeln für eine abelsche Gruppe erfüllt sind für die Operation "plus" dann habe ich also eine abelsche Gruppe... Stimmt doch? Ich muss die Elemente praktisch mit der "Verknüpfung" überprüfen, ob sie die regeln für Gruppe/Ring erfüllen ? Für eine Gruppe muss ich z.B. überprüfen:
Und jetzt muss ich das für meine Menge und für meine Verknüpfung überprüfen, richtig? Abelsche Gruppe wäre dann wenn ich zudem noch die Operatoren vertauschen darf, bei Verknpüpfung + : a+b = b+a bei Verknüpfung * muss gelten: a*b= b*a Bis hier erstmal....dann komme ich noch mit dem Vektorraum Könnte das mal jemand überprüfen ob ich richtig liege mit meinem Verständnis? Danke für die Mühe !! |
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| 15.11.2009, 19:55 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könnte mir hier jemand bitte helfen? |
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| 15.11.2009, 20:00 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja wenn du eine Menge mit einer Verknüpfung hast und rausfinden willst ob es eine Gruppe ist musst du überprüfen ob es die Eigenschaften erfüllt. Eine Verknüpfung muss nicht unbedingt die bekannte Addition oder Multiplikation aus dem Zahlenbereich sein. So bilden beispielsweise die bijektiven Funktionen auf einer Menge M zusammen mit der Komposition eine Gruppe |
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| 15.11.2009, 21:06 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok so einigermaßen geschnallt, nur was ein Vektorraum und Untervektorraum dann ist check ich nicht? Das ist eine Gruppe bei der ich die Elemente einer Menge zusätzlich zu den Eigenschaften der Gruppe , noch zum Skalarprodukt nehmen kann? Ich verstehe die Definitionen bei wikipedia und so nicht wirklich... |
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| 15.11.2009, 21:07 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist eben eine abelsche Gruppe auf der zusätzlich eine Skalarmultiplikation definiert ist die verträglich mit der Operation der Gruppe ist. |
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| 17.11.2009, 20:25 | Physinetz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wenn ich dein Zitat oben nehme, da habe ich ja schon eine Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) . Wieso dann jetzt nochmal Skalarmultiplikation? Oder bezeichnet man die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nur bei Vektoren als Skalarprodukt, sodass der Begriff Skalar nur bei Vektoren auftritt? |
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| 17.11.2009, 22:14 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Skalarprodukt ist nochmal was anderes
Aber die Multiplikation mit einem Skalar(also einem Körperelement, einfacher für dich wohl: einer Zahl) ist eben eine andere Verknüpfung als die Gruppenverknüpfung. Eine genaue Frage konnte ich deinem Post nicht entnehmen |
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