Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen

13.11.2009, 11:31

imag

Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen

Hallo
Will folgende Aufgabe lösen. Zeige unter Verwendung des Primzahlsatzes folgende Wachstumeigenschaft der Folge der Primzahlen $\begin{eqnarray*} (p_n)_{n\in \mathbb N}: p_n \sim n log n, n\to \infty \end{eqnarray*}$
Der Primzahlsatz lautet ja: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x) log x}{x}=1 \end{eqnarray*}$
und zu beweisen habe ich ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{n log n}=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_n, nlogn\neq0 \end{eqnarray*}$
Mien Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie ich das irgendwie zusammen bringen soll. Wäre für ein wenig Hilfe sehr dankbar!

13.11.2009, 13:08

Mystic

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Versuche zunächst aus dem Primzahlsatz abzuleiten, dass allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} \ln \pi(x) \sim \ln x \end{eqnarray*}$

Dannach sollte der eigentliche Beweis, aufbauend auf

$\begin{eqnarray*} n =\pi(p_n) \sim \frac {p_n} {\ln p_n} \end{eqnarray*}$

wirklich nicht mehr schwer sein...

13.11.2009, 14:37

imag

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Es gibt ja die Formel: $\begin{eqnarray*} a_n \sim b_n<=>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=1 (a_n,b_n \neq 0) \end{eqnarray*}$
Das heißt doch ich könnte den Primzahlsatz auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \pi (x)logx\sim x \end{eqnarray*}$ aber wie komme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} ln\pi(x) \sim ln x \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2009, 15:25

Mystic

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Hm, das kann ich dir jetzt nicht sagen, sonst bekomm ich noch einen Rüffel hier, da das wirklich das letzte Stück ist, welches noch zur Lösung fehlt... Big Laugh

Eine allgemeine Bemerkung vielleicht doch noch: Rechne prinzipiell mit Gleichungen, statt asymptotischen Äquivalenzen, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \pi(x) =\frac x {\ln x} (1+o(1)) \end{eqnarray*}$

Vielleicht bringt dich ja die letzte Gleichung schon mal auf eine Idee...

13.11.2009, 15:50

imag

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Will mich ja auch selbst daran versuchen.Habe nur ein paar Probleme mit asymptotischen Äquivalenzen unzugehen.
Welche Äquivalenz liegt denn zum Beipiel dieser Gleichung zu Grunde? und was bedeutet das "o(1)"?

Zitat:

Original von Mystic
Eine allgemeine Bemerkung vielleicht doch noch: Rechne prinzipiell mit Gleichungen, statt asymptotischen Äquivalenzen, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \pi(x) =\frac x {\ln x} (1+o(1)) \end{eqnarray*}$

13.11.2009, 15:58

Mystic

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o(1) ist etwas, was mit wachsendem x (oder was immer die Variable ist) gegen 0 geht...Man kann damit in begrenztem Ausmaß auch rechnen, z.B. ist

$\begin{eqnarray*} \ln(1+o(1)) =o(1) \end{eqnarray*}$

Es ist nicht allzu falsch, wenn man sich unter den o(1) in dieser Gleichung zwei (unterschiedliche) Nullfolgen vorstellt...

14.11.2009, 14:33

imag

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Also ich bin jetzt so weit:
$\begin{eqnarray*} \pi(x) =\frac x {\ln x} (1+o(1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \ln (\pi(x) \ln x) = \ln (x (1+o(1))<=>\ln (\pi(x))+ \ln(\ln x) = \ln (x (1+o(1)) \end{eqnarray*}$
Nur irgendwie stört mich jetzt das ln(ln(x) auf der linken Seite, sonst hätte ich es ja oder?

14.11.2009, 17:20

Mystic

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen

Zitat:

Original von imag
Also ich bin jetzt so weit:
$\begin{eqnarray*} \pi(x) =\frac x {\ln x} (1+o(1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> \ln (\pi(x) \ln x) = \ln (x (1+o(1))<=>\ln (\pi(x))+ \ln(\ln x) = \ln (x (1+o(1)) \end{eqnarray*}$
Nur irgendwie stört mich jetzt das ln(ln(x) auf der linken Seite, sonst hätte ich es ja oder?

Mich stört mehr, dass du die rechte Seite, nämlich

$\begin{eqnarray*} \ln (x (1+o(1))) \end{eqnarray*}$

nicht weiter ausrechnest, und das, obwohl ich dir den mehr als deutlichen Hinweis gegeben habe, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \ln(1+o(1)) = o(1) \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du das Ziel, nämlich zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \ln \pi(x) \sim \ln x \end{eqnarray*}$

gilt, irgendwie aus den Augen verloren hast? Genau diese Beziehung ist nämlich in Verbindung mit dem Hinweis aus dem ersten Posting bereits 90% der ganzen Aufgabe...

Edit: Übrigens ist es üblich und trägt sehr zur Klarheit bei, statt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ zu verwenden, wenn die andere Beweisrichtung, so wie im gegenständlichen Fall, irrelevant ist...

14.11.2009, 17:39

imag

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RE: Beweis Wachstumseigensschaft einer Folge von Primzahlen
Ja das kann sein. Irgendwo hänge ich richtig. Aber ich weiß selbst noch nicht genau wo.
Naja ich versuch es nochmal:
Also wenn ich dann den Tipp noch beachte habe ich:

$\begin{eqnarray*} \pi(x) =\frac x {\ln x} (1+o(1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\ln (\pi(x))+ \ln(\ln x) = \ln (x)+o(1) \end{eqnarray*}$
Und da man sich unter o(1) sowas wie 2 unterschiedliche Nullfolgen vorstellen kann, könnte man die doch vernachlässigen oder? Aber am Ziel wäre ich dann immer noch nicht.

Oder bin ich einfach ganz falsch dran gegegangen?

14.11.2009, 18:16

Mystic

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Nein, natürlich bist du nicht falsch gegangen, aber könntest jetzt nicht bitte noch einen Schritt weitergehen in Richtung eines Beweises von

$\begin{eqnarray*} \ln \pi(x) \sim \ln x \end{eqnarray*}$

Und wieso soll o(1) für zwei unterschiedliche Nullfolgen stehen? Jedes o(1) steht für eine Nullfolge...Und weglassen kann man da rein gar nichts, sonst geht ja der Gleichungcharakter verloren, im Gegenteil, diese sog. Landausymbole wurden ja genau zu dem Zweck eingeführt, um etwas als Gleichung schreiben zu können (bitte lies dir die Erklärungen in obigem Link, falls notwendig, gut durch!)... Z.B., kann man dann statt dem vagen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac 1k \approx \ln n +\gamma \end{eqnarray*}$

dann viel exakter schreiben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac 1k = \ln n +\gamma +o(1) \end{eqnarray*}$

was aber jetzt sonst nichts mit der Aufgabe hier zu tun hat...Auch asymptotische Äquivalenzen lassen sich damit als Gleichungen schreiben, wie ich dir das oben schon vorgeführt habe...

15.11.2009, 12:26

imag

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Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \ln \pi(x) \sim \ln x \end{eqnarray*}$
Und wieso soll o(1) für zwei unterschiedliche Nullfolgen stehen? Jedes o(1) steht für eine Nullfolge...

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \ln(1+o(1)) =o(1) \end{eqnarray*}$
Es ist nicht allzu falsch, wenn man sich unter den o(1) in dieser Gleichung zwei (unterschiedliche) Nullfolgen vorstellt...

Deswegen hatte ich das gedacht, scheinbar war das anders gemeint!

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