Matrix summe von schief-symmetrischer Matrix und symmetrischer |
| 14.11.2009, 13:12 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrix summe von schief-symmetrischer Matrix und symmetrischer Beweisen sie: jede quadratische matrix a kann eindeutig als summe einer symmetrischen b und einer schiefsymmetrischen c matrix dargestellt werden. Ich habe leider gar keine Idee, wie ich da vorgehen kann. Hat jemand für mich einen Ansatz mit dem ich meine Überlegungen bezüglich des Beweises Beginnen kann? |
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| 14.11.2009, 13:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Matrix summe von schief-symmetrischer Matrix und symmetrischer 1. Welche Matrix ist sowohl schiefsymmetrisch als auch symmetrisch? 2. Bilden die Symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen je einen UVR? 3. Wie sieht eine möglichst einfache Basis dieser UVRs aus? 4. Bilden die UVRs eine direkte Zerlegung des VR? 5. Boardsuche. |
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| 14.11.2009, 14:08 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1 - 2 muss ja der fall sein und bei 3 wären das dann dann die klassischen standardbasen? 4: da ja eine matrix immer "mehr oder weniger" ein VR ist, dann ist dann ist bei der summer zweiter Matritzen natürlich auch die zerlegung eines VR denke ich 5: ich hab google vorhin benutzt gehabt und ich hatte leider keine inspiration für den beweis gefunden. |
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| 14.11.2009, 14:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du rätst anstatt meine Fragen zu beantworten. Ferner befinden wir uns in einem VR wo Matrizen nichts weiter sind als Vektoren. Auch sonst sind sie kein VR, sondern können lineare Abbildungen zwischen VRs repräsentieren. 1. Nenn mir die MAtrix 2. Weise die Axiome nach 3. Nenne mir die Basis konkret |
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| 14.11.2009, 14:25 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als ich das letzte mal ne Algebravorlesung hatte war das auch schon nen weilchen her. Ich brauch das in nem völlig anderen Zusammenhang. Deswegen ist das auch leicht ratend, weil das lin. algebra wissen etwas den bach runter ging mit der Zeit 
iich könnte doch auch eigentlich einfach eine bel. matrix a nehmen und dann mir anhand dieser matrix einfach die entsprechenden matritzen bauen? Für die symmetrsiche matrix gilt ja einfach nur, dass sie an der Hauptdiagonalen gespiegelt ist. Dann Summiere ich jeweils von der Matrix a_ij+a_ji und teile die summe durch 2. Und auf der hauptdiagonalen lasse ich einfach a_ij stehen. Für die schiefsymmetrische Matrix gilt ja einfach nur. a_ij = - a_ji. Das heißt statt der Summe bilde ich die differenz und teile wieder durch zwei. Dann wsetze ich die Hauptdiagonale gleich null und schon habe ich das zerlegt. |
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| 14.11.2009, 14:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Weg führt klar und ohne Umwege zum Ziel. Ich verstehe nicht, warum du dich so sträubst diese Fragen zu beantworten. 
Ein Beispiel ersetzt keinen Beweis. Und selbst wenn du eine Zerlegung hast, bleibt das "eindeutig" noch offen. |
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| 14.11.2009, 14:43 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil ich auf deine Fragen nicht die Antwort kenne? Sonst hätte ich das ja beantwortet. Also du hällst von meiner Idee, das so zu machen wohl nichts? |
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| 14.11.2009, 14:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, ich halte davon nichts. Und die Antworten auf meine Frage sind wirklich nicht schwer. Denk ein wenig drüber nach und komm dann wieder.
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| 14.11.2009, 14:55 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die Antwort auf die Frage welche Matrix sowohl schiefsymmetrsich als auch symmetrsich ist habe ich denke ich gefunden. Da bei der symmetrie gilt: a_ij = a_ji und bei der schiefen symmetrie a_ij= -a_ji das heißt ja automatisch, dass alles außer der diagonalen null sein muss. Aber da weiß ich nicht wie mir das helfen kann bei dem Beweis. |
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| 14.11.2009, 15:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matrix http://de.wikipedia.org/wiki/Schiefsymmetrische_Matrix Damit bleibt nur eine Matrix übrig. Die hat auch einen Namen. Danach befasse dich damit welcher Vektor (hier also Matrix) immer in einem UVR liegen muss. Das hilft bei 2 und 4 |
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| 14.11.2009, 15:03 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Nullvektor liegt in jedem VR. |
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| 14.11.2009, 15:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist eine Antwort. Welche MAtrix ist erfüllt nun beide Eigenschaften? |
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| 14.11.2009, 15:11 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die matrix, die nur aus nullen besteht natürlich |
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| 14.11.2009, 15:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eben. Die Nullmatrix. Nun nutze die Wiki links, um die UVR Kriterien zu prüfen. http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Untervektorraum |
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| 14.11.2009, 15:46 | Smargo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber das ist mir nicht klar wie mir das weiter hilft, wenn ich eine bel. quadratische zerlegen soll, wenn die eine die Nullmeatix ist, dann wäre die zweite Matrix jedoch wieder gleich der ersten Matrix. Aber für die erste gilt ja nur die Bedingung, dass sie quadratisch ist und nicht, dass die irgendwie (schief-) symmetrisch ist. Aber ich muss ja in eine Schiefsymmetrische Matrix B und eine symmetrische matrix c zerlegen und die Summe muss dann wieder A sein. |
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| 14.11.2009, 15:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies doch was man schreibt...
Das sollst du nachweisen, dazu habe ich dir Links gegeben. |
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| 14.11.2009, 15:58 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Seien A und B Unterräume mit A+B = V und so nennt man die direkte Summe von A und B. Eine direkte Summe hat die tolle Eigenschaft dass jedes Element aus V als eindeutige Summe eines Elements von A und eines Elements von B darstellbar ist. Auf das will tigerbine hinaus(s. auch Frage 4 in ihrem ersten Post) |
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