Gruppen, abelsch

14.11.2009, 13:21

estrella28

Gruppen, abelsch

Hallo

Folgende Aufgabe:

a) Sei G ein Gruppe in der a²=1 für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ gilt.
Zeigen sie, dass G abelsch ist.

b) Es sei G eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass gilt:
Produktzeichen( g $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G ) g²=1.

Bei a habe ich folgendes:
Für alle a,b aus G gilt:
ab=eabe=(a'a)ab(bb')=a'(aa)(bb)b'=a'eeb'=a'b'=(a'b')''=(ba)'=ba
, wobei ' invertieren bedeutet.
Ich frage mich nur, warum ich beim 6.Schritt das ganze a'b' invertieren kann, gilt dann das = nicht mehr????

Bei b habe ich keine idee, wie ich das zeigen soll.

LG
estrella28

14.11.2009, 13:28

Elvis

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Die Aufgabe a) hast du gut gemacht. Der fragliche 6. Schritt gilt wegen
$\begin{eqnarray*} (ab)(b'a')=a(bb')a'=aea'=aa'=e\Rightarrow (ab)'=b'a' \end{eqnarray*}$

14.11.2009, 13:31

kiste

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Hallo,

dein Beweis stimmt bei a) so, ist aber nicht sehr schön da du $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray*}$ benutzen musst.
Besser finde ich $\begin{eqnarray*} ab = a(ab)(ab)b = (aa)ba(bb)=ba \end{eqnarray*}$ .

zu b) betrachte die Relation $\begin{eqnarray*} a\sim b :\Leftrightarrow ab=1 \end{eqnarray*}$ . Diese ist eine Äquivalenzrelation. Wegen der Kommutativität kannst du das Produkt aufteilen so dass jeweils über die Elemente der einzelnen Äquivalenzklassen multipliziert wird. Warum ist jedes dieser einzelnen Produkte 1?

14.11.2009, 13:31

Elvis

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Tipp zu b)
Abelsche Gruppe, ordne das Produkt so, dass du jeweils g mit g' multiplizierst.

14.11.2009, 13:36

estrella28

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danke, das habe ich jetzt verstanden, aber bei b???
@Kiste:zu b, das verstehe ich nicht richtig.

14.11.2009, 13:38

kiste

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Wie wärs wenn du erst einmal über b) ein wenig nachdenkst?
Du hast jetzt 2 Tipps bekommen, mein Tipp ist das formale Pendant zu Elvis' Tipp

14.11.2009, 15:14

estrella28

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hallo

ich komme einfach nicht drauf, wie ich umformen bzw. umstellen soll in einer Produktformel????

14.11.2009, 17:45

estrella28

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Hey

Ich wollte noch sagen, dass ich auch mit Äquivalenzklassen nichts wirklich anfangen kann....Ich bin hier echt am verzweifeln, ich komme mit diesem Produktzeichen nicht klar!!!

14.11.2009, 18:20

kiste

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Seien $\begin{eqnarray*} g_1,\ldots,g_n \end{eqnarray*}$ die Elemente der Gruppe. Dann betrachten wir also $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n g_i^2 \end{eqnarray*}$ . Erkenne jetzt dass $\begin{eqnarray*} g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist. Ordne jedem g_i also sein Inverses zu.
Dieses kommt auf jedem Fall in $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n g_i \end{eqnarray*}$ vor. Ordne jetzt so um(kommutativ!) dass neben jedem g_i sein Inverses steht

14.11.2009, 18:49

estrella28

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Zitat:

Original von kiste
Seien $\begin{eqnarray*} g_1,\ldots,g_n \end{eqnarray*}$ die Elemente der Gruppe. Dann betrachten wir also $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n g_i^2 \end{eqnarray*}$ . Erkenne jetzt dass $\begin{eqnarray*} g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist.

Woher weiß ich dass dies eine Bijektion ist, bzw. das diese Zuordnung exestiert, das soll ich doch beweisen oder????

14.11.2009, 19:26

kiste

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Wenn du das nicht weißt musst du das natürlich zeigen. Ist aber recht simpel zu zeigen(1 Zeile)

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