Kongruenzralation

14.11.2009, 14:59

schmouk

Kongruenzralation

Hi,

folgende Aufgabe ist zu lösen:

Sei G eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie folgendermaßen, dass die Zuordnungen

$\begin{eqnarray*} \equiv \mapsto \bar 0 \qquad H\mapsto\equiv_H \end{eqnarray*}$

eine Bijektion zwischen der Menge der Kongruenzrelationen auf G und der Menge der Untergruppen von G vermiteln:

(a) Ist $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ eine Kongruenzrelation auf G, so ist $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G.

Mein Ansatz ist jetzt folgender:

Sei $\begin{eqnarray*} x \equiv y \Leftrightarrow (x-y)\mod p=0; x,y\in\bar 0, p\in G \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \bar 0 =\{p\vert (x-y) : x,y\in G\} \end{eqnarray*}$ (Daraus folgt am Rande, dass $\begin{eqnarray*} \bar 0\subset G \end{eqnarray*}$ .)

Wegen $\begin{eqnarray*} 0\mod p =0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0\in\bar 0 \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} y:=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \bar 0 =\{p\vert (x-0) : x\in G\}=\{p\vert x : x\in G\}=\{x=pz : x,z\in G\} \end{eqnarray*}$ (Frage: ist das dann gerade die Nebenklasse $\begin{eqnarray*} x-pG \end{eqnarray*}$ ?)

So und jetzt kommt mein eigentliches Problem: Die Operation auf welche sich diese abelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bezieht ist ja nicht näher definiert,
also gehe ich von einer Op. $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ aus.

Dass jetzt Kommutativität in $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, ist wegen $\begin{eqnarray*} \bar 0\subset G \end{eqnarray*}$ klar. Ebenso Assoziativität. Beim Neutralelement komm ich das erste mal ins Schwitzen und um die abgeschlossenheit zu zeigen braucher ich, dass $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ die Multiplikation distributiv sind. Ich weiß ja noch nicht mal ob die Multiplikation auf G definiert ist. Aber wird wohl die existierende Kongruenzrelation induzieren, denn ohne Multiplikation kein Modulo, richtig?

Aber jetzt zur Abgeschlossenheit bzgl: $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ :
Für $\begin{eqnarray*} x,x'\in\bar 0, z,z'\in G\qquad x\circ x'=pz\circ pz'=p(x\circ z')\in\bar 0 \end{eqnarray*}$ o.k.

aber wie gesagt, warum distributivität (für abgeschlossenheit notwendig) und warum NE und Inverse?

Grüße,

schmouky

15.11.2009, 00:48

schmouk

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Nachschub
Ich muss da nochmal was hinterherschieben, bevor es in die Heia geht:

Für G und H abelsche Gruppen und $\begin{eqnarray*} f: G\rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Die durch
$\begin{eqnarray*} a\equiv_f b :\Leftrightarrow f(a)=f(b)\qquad (a,b\in G) \end{eqnarray*}$
auf G definierte Relation $\begin{eqnarray*} \equiv_f \end{eqnarray*}$ ist eine Kongruenzrelation auf G.

Ist folgende Folgerung eine gültige Bedingung um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \equiv_f \end{eqnarray*}$ eine Kongruenzrelation auf G ist?
$\begin{eqnarray*} (a\equiv_f b) \wedge (c\equiv_f d)\Rightarrow ac\equiv_f bd \end{eqnarray*}$

Kann ich also einfach zeigen: $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \wedge f(c)=f(d) \Rightarrow f(a)\cdot f(c)=f(b)\cdot f(d)\Leftrightarrow f(ac)=f(bd)\Leftrightarrow ac\equiv_f bd \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \equiv_f \end{eqnarray*}$ also Kongruenzrelation?? (Natürlich wenn vorher gezeight ist, dass $\begin{eqnarray*} \equiv_f \end{eqnarray*}$ äquivalenzrelation ist).

Grüße,

Schmouk

15.11.2009, 10:49

kiste

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Hallo,

du solltest deine Notation nächstes mal vllt. besser erklären. Ich glaube sie jetzt erraten zu haben, aber das war auch der Grund warum ich zuerst nicht geantwortet habe.

Schauen wir uns mal => an:
Wir betrachten alle Elemente die mit der 0 kongruent sind.
Seien a,b solche Elemente, dann gilt also $\begin{eqnarray*} a\equiv 0, b\equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen der Kongruenzeigenschaft gilt also auch... und damit ist $\begin{eqnarray*} ab\in \overline 0 \end{eqnarray*}$ .

Dasselbe nochmal für das Inverse.

Jetzt wissen wir also dass die Abbildung wohldefiniert ist.

Jetzt musst du zeigen dass die Konstruktionen hintereinander gehängt wieder dasselbe ergeben.

(P.S: Meiner Meinung nach ist die Aufgabe eine umständliche Formulierung der Tatsache dass Kerne von natürlichen Projektionen gerade den Untergruppe bei abelschen Gruppen entsprechen)

15.11.2009, 13:45

schmouk

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Zitat:

Original von kiste
Hallo,

du solltest deine Notation nächstes mal vllt. besser erklären. Ich glaube sie jetzt erraten zu haben, aber das war auch der Grund warum ich zuerst nicht geantwortet habe.

Verzeihung.

Zitat:

Schauen wir uns mal => an:

Ist auch noch eine Rückrichtung zu zeigen?

Zitat:

Wir betrachten alle Elemente die mit der 0 kongruent sind.
Seien a,b solche Elemente, dann gilt also $\begin{eqnarray*} a\equiv 0, b\equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen der Kongruenzeigenschaft gilt also auch...

Was meinst Du jetzt hier genau? Ich finde leider keine ordnedliche allg. Definition "der Kongruenzeigenschaft". Im Fischer z.B. ist nur expliziet die Kongruenzrelation
$\begin{eqnarray*} a\equiv b \Leftrightarrow a\mod p=b\mod p \end{eqnarray*}$

Es gibt doch auch andere!? Oder verstehe ich das falsch? Z.B. in der ersten Aufgabestellung... ich muss abstrakt mit den Eigenschaften einer Kongruenzrelation arbeiten, oder nicht? Was bedeutet denn jetzt Kongruenzeigenschaft? oder ist mit $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ kanonisch imner die Modulo-Kongruenz gemeint?

Zitat:

und damit ist $\begin{eqnarray*} ab\in \overline 0 \end{eqnarray*}$ .

Ja das verstehe ich, falls es die Modulo-Kongruenz ist.

Zitat:

Dasselbe nochmal für das Inverse.

Jetzt wissen wir also dass die Abbildung wohldefiniert ist.

Warum weiß ich das erst jetzt, wo ich gezeigt habe, dass $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist.

Zitat:

Jetzt musst du zeigen dass die Konstruktionen hintereinander gehängt wieder dasselbe ergeben.

Welche Konstruktionen meinst Du? Nochmal für dumme bitte.

Grüße,

Schmouk

15.11.2009, 13:50

kiste

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Nein die Modulo-Kongruenz ist nicht die einzige die es gibt. Das erklärt jetzt auch einen Teil deiner wirren Notation.

Eine Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation die verträglich ist mit den Operationen auf der Struktur.
Speziell auf Gruppen angewandt heißt dass:
$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ist eine Kongruenzrelation von Gruppen falls $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist und zusätzlich für $\begin{eqnarray*} a\equiv a', b\equiv b' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ab\equiv a'b' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^{-1}\equiv a'^{-1} \end{eqnarray*}$

Wir haben Abbildungen zwischen der Menge der Untergruppen und der Menge der Kongruenzabbildungen.
Damit diese wohldefiniert sind muss natürlich auch eine Untergruppe rauskommen bei $\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$ . Genauso muss $\begin{eqnarray*} \equiv_H \end{eqnarray*}$ eine Kongruenz ergeben, aber da dachte ich dass ihr das schon gezeigt habt(sonst hätte ich es komisch gefunden dass du die Notation verstehst)

Mit den Konstruktionen meine ich die beiden Abbildungen

15.11.2009, 14:01

schmouk

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aah, vielen dank schonmal. dennoch bin ich noch nicht ganz ohne fragen.

Bei $\begin{eqnarray*} ab\equiv a'b' \end{eqnarray*}$ ist das dann die übliche Multiplikation? Woher weiß ich denn, dass die überhaupt auf dieser Menge/Gruppe definiert ist?

Grüße,

Schmouky

15.11.2009, 14:07

kiste

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Das ist die Multiplikation in der Gruppe, die ist natürlich auf einer Menge nicht definiert Augenzwinkern

15.11.2009, 19:21

schmouk

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Gruppe, Menge - kommt doch alles aus Taiwan. Wink

Also gut: Kommutativität, Assoziativität klar. NE klar, da $\begin{eqnarray*} 0\equiv 0 \Rightarrow 0\in\bar 0 \end{eqnarray*}$ , ok.

Dann Abgeschlossenheit.
(Und dann will ich mal ein wenig auf meine Notation achten.)

Sei wieder $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die Operation auf der Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wodurch $\begin{eqnarray*} (G,\circ) \end{eqnarray*}$ zu einer Gruppe wird. Sei weiter $\begin{eqnarray*} (G,\circ) \end{eqnarray*}$ abelsch.

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ eine Kongruenzrelation auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ die Kongruenzklasse zum Element $\begin{eqnarray*} 0\in G \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} a,b\in\bar 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a\equiv 0\wedge b\equiv 0\Rightarrow a\circ b\equiv 0\Rightarrow a\circ b\in\bar 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch existieren Inverse. Sei jetzt also $\begin{eqnarray*} a\circ a^{-1}=0\Rightarrow a\circ a^{-1}\in\bar 0\Rightarrow a\equiv 0\wedge a^{-1}\equiv 0 \Rightarrow a^{-1}\in \bar 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist "(a) Ist $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ eine Kongruenzrelation auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ." gezeigt.

Die Abbildung mit der Zuordnungsvorschrift $\begin{eqnarray*} \equiv\mapsto\bar 0 \end{eqnarray*}$ ist damit also Wohldefiniert.

Soweit richtig?

15.11.2009, 19:27

kiste

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Beim Inversen verstehe ich die zweite Schlussfolgerung nicht.
Viel einfacher geht es wenn du benutzt dass $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ eine Kongruenzrelation ist, also mit der Inversenbildung verträglich ist(siehe auch in dem Post in dem ich Kongruenzrelation definiere)

15.11.2009, 20:23

schmouk

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hm... also es gilt für $\begin{eqnarray*} a\equiv a'\wedge b\equiv b' \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} (1.) ab\equiv a'b' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2.) a^{-1}\equiv a'^{-1} \end{eqnarray*}$

Nagut, jetzt ist $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ also eine Kongruenzrelation und $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ ist, bis auf Existenz inverser Elemente, als abelsch nachgewiesen.

Dann fällt mir, um gerade das mit (2.) zu zeigen nur ein, dass für $\begin{eqnarray*} a\in\bar 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a\equiv 0 \end{eqnarray*}$ und das Neutralelement 0 ist sein eigenes Inverses. Also ist $\begin{eqnarray*} a^{-1}\equiv 0 \end{eqnarray*}$ und damit in $\begin{eqnarray*} \bar 0 \end{eqnarray*}$ .

Noch eine wichtige Frage: Bzgl. der von dir angesprochenen Notation oben $\begin{eqnarray*} \equiv_H \end{eqnarray*}$ . Ich nehme an, das bedeutet, dass ein Unterraum irgendwie eine Kongruenzrelation induziert. Kannst du mich das auf ein paar Sätze verweisen? Hab kein Skript zu der Vorlesung, leider.

Danke,

Schmouky

15.11.2009, 20:41

kiste

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Genau so zeigt man inverse smile

$\begin{eqnarray*} a \equiv_H b \end{eqnarray*}$ würde ich als $\begin{eqnarray*} ab^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ interpretieren.

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