Beweisrichtung unklar

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Epsilon82 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisrichtung unklar
Hallo,

ich habe eine Aufgabe zum Thema "Vektorräume", deren Antwort (Beweis) ich zwar kenne, jedoch den Weg nicht ganz verstehe.

Die Aufgabe lautet:
"Seien A und B beliebige Matrizen, auf Staffelform gebracht mit Pivotelementen.
Angenommen der Zeilenraum von A entspricht dem Zeilenraum von B. Beweisen Sie, dass dann die Pivotelemente an der gleichen Position innerhalb der Matrizen A und B liegen, dass also a_ik = b_ij gilt.

Nun kommt der Beweis, indem gezeigt wird, dass die Matrizen A und B die gleichen Zeilenräume haben.

Der Beweis ist mir klar, jedoch Frage ich mich, weshalb die im Buch beweisen, dass die Zeilenräume gleich sind, wo doch "angenommen" wird, dass sie es sind? Ich hätte jetzt geglaubt, dass man aus der Annahme der Zeilenraumgleichheit die Pivotelementpositionen ermitteln soll.

Ist das nur ein Rückweg, weil man die Aussage auch als "genau-dann-wenn"-Aussage formulieren kann und hier halt die Rückrichtung gezeigt wurde?
Weshalb wird dann nicht die Vorwärtsrichtung dieses Beweises gezeigt, und nicht einmal gesagt, dass diese dann fehlt?

Besten Gruß,
Epsilon

Falls die Aufgabe so nicht zu verstehen ist, kann ich auch den Beweis noch ausführlich dazu packen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest mal den Titel des Buches und die Seite nennen. Bisweilen kann man Teile in der Buchvorschau von Googles Büchersuche nachlesen. Ansonsten will ich hier keine Mutmaßungen über irgendwelche Beweisschritte anstellen.

Gruß,
Reksilat.
Epsilon82 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist das Buch von Lipschutz, Seite 176 f. Leider ist es nicht bei google-books in deutsch zu finde. Das Buch habe ich jetzt hier, also schreibe ich den Beweis ab.

Angenommen A=(a_ij) und B=(b_ij) sind Staffelmatrizen mit den Pivotelementen a_1j1, ...., a_rjr und b_1k1,...,b_sks- Angenommen A und B haben den gleichen Zeilenraum. Beweise, dass sich die Pivotelemente von A und B in den gleichen Positionen befinden, also j_1=k_1, ..., j_r=k_r und r=s.

Beweis:
Offenbar gilt A=0 <=> B=0 und somit brauchen wir nur das Theorem beweisen, wenn r>=1 und s>=1. Wir zeigen, dass j_1=k_1. Angenommen j_1<k_1. Dann ist die j_1-te Salte von B Null. Da die erste Zeile von A im Zeilenraum von B liegt, haben wir gemäß der vorherigen Aufgabe a_1j1=c_1*0+...+c_m=0 für Skalare c_i.
Aber dies widerspricht der Tatsache, dass das Pivotelement a_1ji =/=0. Somit ist j_1<=k_1. So folgt auf ähnliche Weise k_1>=j_1, also j_1=k_1.

Dann wird gefolgert, dass A`und B`als die Submatrizen von A und B, die durch Löschen der ersten Zeile von A bzw. B zustande kommen den gleichen Zeilenraum haben. Dies wird dann durch Induktion fortgeführt.
Es sei R=(a_1, ..., a_n) eine beliebige Zeile von A´und R_i die Zeilen von B. Da R im Zeilenraum von B liegt, existiert ein Skalar d_1, ..., d_m, so dass R=d_1R_1+...+d_mR_m. Da A in Staffelform und R nicht die erste Zeile von A ist, ist das j_1-te Element von R Null. Weiterhin gilt, da B Staffelform besitzt, dass alle Elemente in der k_1-ten Spalte von B gleich Null sind, außer den ersten b_1k1=/=0, aber b_2k1=0.
Folglich gilt 0=a_k1=d_1b_1k1+d_20+...+d_m0=d_1b_1k1.

Also ist für b_1k1=/=0 und somit d_1=0. Dann ist R eine Linearkombination von R_2, ..., R_m und somit im Zeilenraum von B´enthalten. Also ist der Zeilenraum von A´im Zeilenraum von B´enthalten. Analog beweise man die umgekehrte Richtung.
Also ist das Theorem bewiesen.

Grüße,
Epsilon
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hätte man eigentlich angeben sollen, worüber die Induktion geführt wird. Am besten eignet sich wohl die maximale Zeilenzahl der beteiligten Matrizen.

Man nimmt also an, dass die Behauptung für alle Paare von Matrizen mit gleichen Zeilenräumen und Zeilenzahl höchstens erfüllt ist, das ist die Induktionsvoraussetzung.

Nun nimmt man sich zwei Matrizen und von denen mindestens eine Zeilen hat und deren Zeilenräume übereinstimmen.

Man zeigt schon zu Beginn, dass ist und betrachtet für die restlichen die Teilmatrizen und , welche ja die Pivotelemente und haben.
Wenn und jeweils höchstens Zeilen haben (was offensichtlich der Fall ist) und außerdem den gleichen Zeilenraum, so gilt nach der Induktionsvoraussetzung und man ist fertig.
Es bleibt also zu zeigen, dass und den gleichen Zeilenraum haben und das ist genau das, was hier gezeigt wird.

Gruß,
Reksilat.
Epsilon82 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

danke für die Erklärung. Meine Frage ist nun, weshalb ich hier die Pivotelemente nehme, deren Gleichheit bzgl. der Position zeige, um dann zu zeigen, dass A und B den gleichen Zeilenraum haben?

Die Aufgabe nimmt ja an, dass die Zeilenräume gleich sind und man soll dann zeigen, dass die Pivotelemente an den gleichen Positionen sind.
Dass diese Richtung so auch funktioniert, ist mir klar, jedoch frage ich mich, ob die andere Richtung, sprich: Zeilenräume von A und B gleich ==> Pivotelemente an den gleichen Positionen - nicht einfacher wäre!? Den Beweis für diese Richtung könnte man doch auch führen - sogar auf ähnliche Art und Weise, oder?

Ist das nur eine Vorliebe gewesen, dies auf diesem (siehe Beweis) Weg zu zeigen oder steckt noch mehr dahinter?

Grüße und Dank,
Epsilon
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nicht genau verstanden, was Du meinst. Im Beweis wird folgendes gezeigt:
Zeilenräume von A und B gleich ==> Pivotelemente an den gleichen Positionen
Und nichts anderes. Ich habe versucht in neuen Worten zu erklären, was im Beweis eigentlich passiert.

Zitat:
jedoch frage ich mich, ob die andere Richtung, sprich: Zeilenräume von A und B gleich ==> Pivotelemente an den gleichen Positionen - nicht einfacher wäre!?
Das ist die Richtung die gezeigt wird. Augenzwinkern

Es gibt natürlich noch die andere Richtung:
Pivotelemente an den gleichen Positionen ==> Zeilenräume von A und B gleich
Dies ist aber im allgemeinen falsch!, da z.B. die folgenden beiden Matrizen die gleichen Pivotelemente haben, sich aber im Zeilenraum unterscheiden.
und

Gruß,
Reksilat.
 
 
Epsilon82 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

okay, dann muss ich den Beweis von der Richtung her noch mal durchgehen.
Das Gegenbeispiel ist klar.

Danke noch einmal,
Grüße,
EPsilon
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