vollständige induktion

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ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion
Guten Tag,

Ich weiß wie man einen Beweis per vollständiger Induktion durchführt, allerdings hakt es grad bei mir an einer Aufgabe, weil dort 2 Variablen vorkommen.



Der Induktionsanfang is klar, aber beim Induktionsschritt komm ich nicht weiter.





Wie gehts nun weiter, was mach ich mit den 2k? Am Ende muss ja (n+2)^3 rauskommen, damit es bewiesen ist...aber ich komm einfach nicht weiter. Würde mich über einen Tipp freuen. Danke!
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstehe, hast du im Induktionsschritt den Summanden für k = n+1 abgespalten. Dann solltest du das k auch durch n+1 ersetzen, oder?
sweetsunny2009 Auf diesen Beitrag antworten »

ähm ich glaube du hast einen schritt übersprungen, du musst erstmal zeigen, dass es für ein beliebiges n geht, dann kannst du auch Terme teilweise ersetzen, oder was ist deine Ausgangsgleichung?
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens:
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf David?
@sunny: Ich habe das schon gezeigt, wollte es hier aber nicht nochmal reinschreiben, daher habe ich nur den IS abgetippt, weil ich halt da hänge...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige induktion
Zitat:
Original von ratlooos
Ich weiß wie man einen Beweis per vollständiger Induktion durchführt, allerdings hakt es grad bei mir an einer Aufgabe, weil dort 2 Variablen vorkommen.



Kannst du nochmal genau erklären, was die Aufgabe ist. Wodrauf bezieht sich die Summe? Was ist die Behauptung?
 
 
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten folgende Beobachtungen gegeben:
1^3 = 1
2^3 = 3 + 5
3^3 = 7 + 9 + 11
4^3 = 13 + 15 + 17 + 19
Dazu sollten wir eine allgemeine Formel angeben und beweisen. Ich bin auf die Formel gekommen:

Die stimmt auch soweit, nur beim Beweis hapert es halt...
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich war dies meine ursprüngliche Formel:

Da es ja aber bis n-1 geht, habe ich einfach n+1 eingesetzt...
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ratlooos
Wie kommst du darauf David?
@sunny: Ich habe das schon gezeigt, wollte es hier aber nicht nochmal reinschreiben, daher habe ich nur den IS abgetippt, weil ich halt da hänge...


Laut Gauss ist Jetzt hast du ja 2*k und da du den Faktor aus der Summe ziehen kannst kannst ist:

Allerdings scheint mir bei deiner Behauptung irgendwo noch der Wurm drin zu sein. Das Ganze scheitert ja schon bei n=1.
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?
bei n = 1 ist:

Und das ist 1 = 1, passt also.
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ratlooos
Wieso?
bei n = 1 ist:

Und das ist 1 = 1, passt also.


Ja, stimmt. Mein Fehler! smile
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich allerdings 2k mit n(n+1) ersetze, bekomme ich es immer noch nicht zu Ende bewiesen...arrrg ich verzweifle hier..:/
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Für n+1 müsste die Gleichung dann lauten:
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

Da müsste ja für n+1, (n+1)^3 rauskommen, wenn man n^3 mit n+1 ersetzt, löse ich aber deine Gleichung auf komme ich auf

und das passt irgendwie nich...
ratlooos Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habs nun:
Es ist

Also sind
Damit klappts einwandfrei, vielen Dank für deine Hilfe! Augenzwinkern
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