Euklidische Räume, Normen

15.11.2009, 11:03

ankasztaj

Euklidische Räume, Normen

Ich komme mit der Aufgabe nicht klar:

Setze für $\begin{eqnarray*} x \in R^n , x = (x_1, ..., x_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|_1 := \sum_{i=1}^n |x_i|<br /> ||x||^2 := \sum_{i=1}^n x_i^2<br /> |x|_\infty := max \left\{ |x_i| i=1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$

Zeige
a) Es existiert ein $\begin{eqnarray*} a\in R, a > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \forall_{x\in R^n} |x_1|\leq a|x|_\infty \end{eqnarray*}$

Ich weiß mittlerweile worum es sich grob handelt. Steht ja schon im Thema.
Aber wie ich es beweisen/zeigen soll.... Keine Ahnung.

Hoffe ihr habt Paar Ideen

15.11.2009, 11:06

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze ist ziemlich offensichtlich.
Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray*} |x_1| = |x|_\infty \end{eqnarray*}$ dann gilt doch $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq |x_1| \end{eqnarray*}$ . Kannst du jetzt die Summe etwas abschätzen?

15.11.2009, 12:28

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich habe mich vertippt.

es sollte $\begin{eqnarray*} |x|_1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} |x_1| \end{eqnarray*}$ heißen...
ändert das was?

Ich verstehe aber nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq |x|_1 \end{eqnarray*}$ kommt

und Summe abschätzen??? wie meinst du das?

15.11.2009, 12:52

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich glaube die ungleichung doch zu verstehen.

also... $\begin{eqnarray*} |x_i| \end{eqnarray*}$ ist letztendes ein glied von der summe und somit ein element von $\begin{eqnarray*} |x|_1 \end{eqnarray*}$

aber das mit dem abschätzen verstehe ich immer noch nicht unglücklich

15.11.2009, 13:28

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen doch jetzt dass für jedes Glied der Summe gilt dass es $\begin{eqnarray*} \leq|x|_\infty \end{eqnarray*}$ ist. Wenn wir alle diese Ungleichungen aufsummieren, was ergibt sich dann?

15.11.2009, 19:08

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab irre Probleme dass zusammenzufassen

wir haben also $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq |x|_1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq |x|_\infty \end{eqnarray*}$ (aber wie kommt man darauf?)

aber wann kann $\begin{eqnarray*} |x|_1 = |x|_\infty \end{eqnarray*}$ gleich sein???

das eine ist ja ne summe von beträgen und das zweite ist ja das größte betrag eines vektors... ach das will ja gar nicht in meinen kopf

kann das jemand bitte bisschen ausführlicher schreiben? sonst werde ich es mir niemals veranschaulichen können

danke!

15.11.2009, 19:21

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir ein Beispiel:
Betrachten wir den Vektor (1, -2, 3, -5) dann ist die Maximumsnorm davon gerade 5.
Die Summe über die Beträge der einzelnen Komponenten ist 1 + 2 +3 +5.
Nun kann man abschätzen:
1 <= 5, 2<= 5, 3<=5, 5<=5.
Also gilt:
1+2+3+5 <= 5 + 5 + 5 + 5 = 4*5.
Erkenne hier die Regelmäßigkeit

15.11.2009, 19:31

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

aber warum jetzt 5+5+5+5???? weil es generel vier elemente waren? oder wie kommt es? oder hast du genau das genommen damit es eben größer wird?

ich habe grundsätzlich das prinzip verstanden. aber wie schreibe ich es sauber auf? wie beweise ich es schön formal? damit hab ich die größten probleme... unglücklich

achso... wir sollen noch das kleinstmögliche a bestimmen. mach ich es durch beispiele oder kann ich es auch allgemein finden?

15.11.2009, 19:48

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht natürlich auch allgemein.
Wir haben jetzt eben statt 5 immer $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ .
Und statt den einzelnen Werte eben $\begin{eqnarray*} |x_i| \end{eqnarray*}$ .
Außerdem gilt immer $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq |x|_\infty \end{eqnarray*}$
Jetzt gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq ... \end{eqnarray*}$

15.11.2009, 20:01

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Jetzt gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n |x_i| \leq ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n * max \left\{ |x_i| \right\} \end{eqnarray*}$

richtig?

15.11.2009, 20:48

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, also ist a=n

15.11.2009, 21:08

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

aber n ist ja nicht das kleinstmögliche a oder? in dem beispiel was du genannt hast könnte a auch 3 sein. also kleiner als n da n=4

wie schreibe ich alles sauber von vorne bis hinten hin ? auf a=n bin ich eigentlich nur durch dein gut gewähltes beispiel gekommen? kann man das auch ohne konkretes beispiel erkennen`?

und was mir halt wichtig ist wie man es richtig aufschreibt von vorne bis hinten. eine art musterbeispiel....

15.11.2009, 21:10

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja mein Beispiel war ja dafür gedacht dass du die Lösung siehst. Man sieht das um einiges schneller wenn man ein bisschen Erfahrung hat und außerdem: Viel übt!

a=n ist kleinstmöglich, man braucht es beispielsweise beim Vektor (1,....,1) der nur 1en enthält.

15.11.2009, 21:26

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie sieht der beweis formal aufgeschrieben aus?

15.11.2009, 21:30

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |x|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \leq \sum_{i=1}^n |x|_\infty = n|x|_\infty \end{eqnarray*}$ .
Kein Hexenwerk

15.11.2009, 21:38

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

und sowas reicht????

ich mache mir immer übelste gedanken, da ich nie weiß wie die die übungen haben wollen. also wie ich es aufschreiben soll damit es richtig is...

ich hoffe es kommt mit der zeit. ich würde sehr ungerne was anderes studieren

15.11.2009, 21:39

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja vllt. noch einen Satz dazu schreiben, aber ja im Prinzip reicht das

16.11.2009, 07:00

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hab ich noch paar ähnliche beispiele:

b) $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \leq b||x|| \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} ||x|| \leq c|x|_1 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} ||x||^2 \leq |x|_1 * |x|_\infty \end{eqnarray*}$

b)
Sei $\begin{eqnarray*} |x|_\infty ^2 = ||x||^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist zwar $\begin{eqnarray*} |x_i|^2 \leq |x|_\infty ^2 \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1} ^n |x_i|^2 > |x|_\infty ^2 \end{eqnarray*}$

und somit auch $\begin{eqnarray*} ||x|| > |x|_\infty \end{eqnarray*}$

und zwar ohne ein extra b
d.h. das kleinstmögliche b wäre 1

c)
Sei $\begin{eqnarray*} ||x||^2 = |x|_1 ^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1} ^n |x_i|^2 \leq (\sum_{i=1} ^n |x_i|)^2 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \leq (a+b)^2 \end{eqnarray*}$

dadurch ist c auch überfüssig und kann als kleinstmögliches 1 betragen

d)
damit komme ich noch nicht so ganz klar
hab bist jetzt nur dass
$\begin{eqnarray*} ||x||^2 \geq |x|_\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||x||^2 \geq |x|_1 \end{eqnarray*}$

aber wie zeige ich dass die beiden zusammen doch größer sind als ||x||^2??

Achso... und sind b und c richtig so?

16.11.2009, 07:44

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

b) Das Ergebnis stimmt, der Rechenweg ist katastrophal unverständlich!
Außerdem hast du ein > geschrieben wo ein >= stehen sollte?
c) Ja, du musst aber erwähnen dass a,b>=0 sind, sonst gilt die Ungleichung nicht!
Außerdem musst du explizit ein Beispiel angeben so dass die untere Schranke für c auch angenommen wird
d) Schreibe das ganze einfach mal als Summe aus. Das ist im Prinzip eine ähnliche Abschätzung wie in a)

16.11.2009, 07:54

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

b) wie sollte der rechenweg besser aussehen?

c) untere Schranke für c? und kann ich irgendein beispiel nehmen oder muss es was besonderes sein, bzw. besonders passendes?

d) aber wie soll ich $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ als summe schreiben? wenn ich es so wie in a mache dann wird ja ein n davor stehen. und das ist ja in der aufgabe nicht der fall

16.11.2009, 09:06

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

b) Das selbe Prinzip wie in a) bloß dass jetzt jeder Summand außer $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ mit 0 nach unten abgeschätzt wird

c) Naja gib einfach ein Beispiel an wo Gleichheit gilt, egal welches

d) $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ bleibt, den anderen Term kann man aber doch in ne Summe umschreiben...

16.11.2009, 12:21

Grüner

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis das alles lieber mit dem archimedischen Prinzip.

welches da heißt: $\begin{eqnarray*} \forall_{x>0}\forall_{y\in\mathbb{R}}\exists_{n\in\mathbb{N}}:\: y\leq n\cdot x \end{eqnarray*}$

muss man bloß ummodeln und noch zeigen, dass die Normen jeweils in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind. Für die kleinsten a,b,c setzt du einfach statt dem kleiner/gleich ein = ein und stellst um Augenzwinkern

Gibt dann nur noch den Fall wenn eine Seite Null ist...

16.11.2009, 13:55

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

@Grüner: na jetzt hast du mich aber verwirrt. kannst du mir mal als beispiel a) mit dem archimedischen Prinzip aufschreiben?

damit ich mir was drunter vorstellen kann

16.11.2009, 16:46

Grüner

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |x|_1 \leq a \cdot |x|_\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \Leftrightarrow \forall_{x_i \in x} x_i \in \mathbb{R} \Rightarrow \forall_{x_i \in x} |x_i| \in \mathbb{R}^+ _0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x|_1 , |x|_\infty \in \mathbb{R}^+ _0 \end{eqnarray*}$

Archimedisches Prinzip sagt:
$\begin{eqnarray*} \forall_{x>0}\forall_{y\in\mathbb{R}}\exists_{n\in\mathbb{N}}:\: y\leq n\cdot x \end{eqnarray*}$

setzt man $\begin{eqnarray*} y = |x|_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = |x|_\infty \end{eqnarray*}$ gibt es also ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für das die ungleichung gilt, falls $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ ungleich 0.

Das impliziert, dass es auch ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für diese Ungleichung gibt.

Falls $\begin{eqnarray*} |x|_1=0 \Leftrightarrow \forall_{x_i \in x} x_i = 0 \Rightarrow |x|_\infty = 0 \end{eqnarray*}$

Also heißt die Ungleichung dann nur noch: $\begin{eqnarray*} 0 \leq a \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Und das ist für beliebiges a wahr.

das kleinste a findet man wenn man beide seiten gleich setzt(für $\begin{eqnarray*} |x|_1, |x|_\infty \end{eqnarray*}$ ungleich 0):
$\begin{eqnarray*} |x|_1 = a \cdot |x|_\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = |x|_1 \cdot (|x|_\infty)^{-1} \end{eqnarray*}$

bei den anderen aufgaben ists ähnlich. Hoffe es stimmt und hilft Augenzwinkern

16.11.2009, 21:22

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Grüner, deine Argumentation stimmt meiner Meinung nach nur für festes x!

16.11.2009, 22:46

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
b) Das selbe Prinzip wie in a) bloß dass jetzt jeder Summand außer $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ mit 0 nach unten abgeschätzt wird

ich verstehe den ausdruck nicht: summand mit 0 nach unten abschätzen....
wie soll ich es mir in der praxis vorstellen?

16.11.2009, 23:12

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso und wieso soll ich denn für b) keinen beispiel geben wenn ich es schon für c) geben muss?

16.11.2009, 23:17

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja $\begin{eqnarray*} |x_i| \geq 0 \end{eqnarray*}$ anwenden jedes mal wenn $\begin{eqnarray*} |x_i| \neq |x|_\infty \end{eqnarray*}$ . Beachte dass $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall als Summand vorkommt

16.11.2009, 23:46

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

also kann ich auch dazu schreiben $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \leq 0 \end{eqnarray*}$

es ist schon spät... ich blick gar nicht mehr durch

hab also sowas

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \leq \sum_{i=1}^n |x_i| * |x|_\infty \end{eqnarray*}$

aber wieso größer gleich null.... die beträge sind doch immer größer gleich null

keine ahnung wie ichs vereinfachen soll

16.11.2009, 23:49

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bringst die Aufgaben durcheinander. Der Tipp war für die b) nicht für die d).

Die d) ist eigentlich total klar.
Es ist $\begin{eqnarray*} |x_i|^2 \leq |x_i||x|_\infty \end{eqnarray*}$
Jetzt einfach drübersummieren

17.11.2009, 00:03

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut letzter Anlauf für d) smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \leq |x|_\infty * \sum_{i=1}^n |x_i| = \sum_{i=1}^n |x_i| |x|_\infty \end{eqnarray*}$

und dazu kommt dass:

$\begin{eqnarray*} |x_i|^2 \leq |x_i| |x|_\infty \end{eqnarray*}$

und deshalb stimmt es

ist es richtig so???

17.11.2009, 00:05

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Formeln stimmen natürlich alle, aber wenigstens meine Begründung hättest du einbauen können. So würde ich den Beweis als Tutor nicht aktzeptieren

17.11.2009, 00:19

ankasztaj

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe doch deine begründung mit eingebaut in der 2. zeile....

oder meintest du was anderes?

17.11.2009, 06:43

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ein Beweis braucht eine Untermalung! Dein Beweis ist wie Sport schauen ohne Kommentar....

Ich löse dir diese Aufgabe exemplarisch nochmal, die restlichen löst du dann aber komplett allein(genug Tipps hast du bekommen!):
Da $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \end{eqnarray*}$ definiert ist als das Maximum der Beträge der Vektoreinträge gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x|_\infty \geq |x_i| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt natürlich auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x|_\infty|x_i| \geq |x_i|^2 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} |x_i|\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$
Mehrfache Anwendung von $\begin{eqnarray*} a\leq c \land b\leq d \Rightarrow a+b\leq c+d \end{eqnarray*}$ auf alle diese Ungleichungen liefert:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n |x_i|^2 \leq \sum_{k=0}^n |x_i||x|_\infty = |x|_\infty |x|_1 \end{eqnarray*}$

Siehst du den großen Unterschied zu deiner Lösung? Bei mir ist genau klar was passiert, du hast nur 2 Formeln hingeknallt die ohne weitere Erklärung gerade nur die Behauptung sind!

Neue Frage »

Antworten »

Euklidische Räume, Normen

Verwandte Themen