Köper, Vektorraum, Unterraum

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15.11.2009, 11:26	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Köper, Vektorraum, Unterraum Hallo Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann: Für welche Körper K ist die Menge U={(k1,k2) \| k1²=k2} ein Unterraum des Vektorraums K²? LG estrella28
15.11.2009, 11:49	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, untersuche doch einmal die skalare Multiplikation, was muss für alle Skalare gelten? In welchen Körpern gilt das?
15.11.2009, 11:56	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das ist mein Problem, wie untersuche ich das. Ich weiß, dass das Ergebnis der Skalarmultiplikation sich wieder im Unterraum befinden muss, das selbe bei der Addition. Doch wie überprüfe ich das. Zudem denke, ich das es sich hier um den Körper der komplexen Zahlen handeln muss oder? Nur begründen kann ich das nicht richtig.
15.11.2009, 11:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit den komplexen Zahlen liegst du sehr falsch. Seien $\begin{eqnarray} (k_1,k_2) \in U, \lambda \in K \end{eqnarray}$ , welche Bedingung muss dann für $\begin{eqnarray} (\lambda k_1,\lambda k_2) \end{eqnarray}$ gelten damit es auch in U ist? Was folgt dann für lambda?
15.11.2009, 12:06	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda^2=\lambda \end{eqnarray}$ ???
15.11.2009, 12:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, welche beiden Körperelemente erfüllen diese Gleichung? Beachte nun dass alle Körperelemente diese Gleichung erfüllen müssen! Welche Körper bleiben also nur übrig?
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15.11.2009, 12:09	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
K={0,1}?? Muss ich eigentlich noch nachweisen, dass das Ergebnis der Addition dann auch in U liegt??
15.11.2009, 12:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt der einzige Kandidat der übrig bleibt ist K={0,1} mit der darauf üblichen Addition/Mult. Natürlich musst du jetzt auch prüfen ob für diesen auch die Addition passt
15.11.2009, 12:22	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, das habe ich jetzt endlich verstanden, nur wie schreibe ich das mathematisch richtig auf, dass $\begin{eqnarray} \lambda^2=\lambda \end{eqnarray}$ gelten muss. Ich weiß, dass es so sein muss, kann es nur nicht richtig mathematisch begründen, wäre lieb wenn du mir da helfen könntest
15.11.2009, 12:32	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja damit die Skalarmult. drin ist muss $\begin{eqnarray} (\lambda k_1)^2 = \lambda k_2 \end{eqnarray}$ gelten. Wegen $\begin{eqnarray} k_1^2 = k_2 \end{eqnarray}$ und der Kommutativität ist dies äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lambda^2 = \lambda \end{eqnarray}$
15.11.2009, 12:36	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke, aber ich habe noch eine Frage, das hat doch nichts mit der Addition zu tun, denn ich habe gerade herausgefunden, dass das Ergebnis der Addition gar nicht in U liegen kann.
15.11.2009, 12:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Komisch ich hab das Gegenteil rausgefunden Zeig mal deine vollständige Rechnung. Begründe jeden Schritt bis aufs kleinste!
15.11.2009, 14:37	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo $\begin{eqnarray} \forall v_1,v_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_1=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2=(y_1,y_2) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} v_1+v_2=(x_1+y_1,x_2+y_2) \end{eqnarray}$ es muss gelten: $\begin{eqnarray} (x_1+y_1)^2= (x_2 + y_2) \end{eqnarray}$ Das gilt aber nur für einen Körper mit dem einzigen Element 0, oder?
15.11.2009, 14:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das gilt in allen Körpern der Charakteristik 2, insbesondere in K={0,1}. Deswegen sollst du das ganze auch bis auf den letzten Schritt begründen! So hättest du zumindest einmal die binomische Formel für den linken Teil anwenden können.
15.11.2009, 16:17	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
was bedeutet Charakteristik 2????
15.11.2009, 16:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Körper in dem 1+1 = 0 gilt nennen wir einen Körper der Charakteristik 2
15.11.2009, 16:27	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind denn noch Körper außer K={0,1} der Charakteristik 2???
15.11.2009, 16:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja es gibt unendliche viele davon, wenn dir aber noch keiner davon begegnet ist wird es etwas schwerer das zu erklären. Der einfachste davon ist immer noch $\begin{eqnarray} \mathbb F_4 = \{0,1,\alpha,1+\alpha\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha^2 = \alpha + 1 \end{eqnarray}$
15.11.2009, 16:35	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke
15.11.2009, 16:46	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ist jetzt die gesamte Lösung der Aufgabe: alle Körper der Charakteristik 2 oder nur der Körper {0,1}???
15.11.2009, 16:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du schon selbst rausfinden, schau nochmal zurück was wir bei der Skalarmultiplikation rausgefunden haben
15.11.2009, 16:52	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
nach dem muss es nur der Körper {0,1} sein
15.11.2009, 16:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »

15.11.2009, 16:56	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
und nur noch mal zum Verständis: weil nämlich $\begin{eqnarray} \lambda^2=\lambda \end{eqnarray}$ nicht sein kann, daher muss $\begin{eqnarray} x_1^2=0 \end{eqnarray}$ und dies ist nur im Körper K={0,1} der Fall richtig verstandne??
15.11.2009, 16:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \lambda^2 = \lambda \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lambda(\lambda -1)=0 \end{eqnarray}$ welches eben nur die Lösungen $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ besitzt. Aber alle Körperelemente müssen Lösungen davon sein
15.11.2009, 17:02	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dann ist aber K der Körper der Skalare, der hat doch aber nichts mit der Addition zu tun oder???? was ist denn dann die Begründung für die Addition???
15.11.2009, 17:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, die Bedingung die bei der Addition gestellt wird gilt doch für Elemente aus K. Die Tupel sind doch in K^2!
15.11.2009, 17:19	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt sowohl alle Lambda und x1, x2 kommen aus K?
15.11.2009, 17:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
15.11.2009, 17:22	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich glaube ich hatte die Defintion von dem Vektorraum nicht ganz verstanden , die Menge hier ist : K² und der Körper der Skalare ist K, aber mit K ist der gleiche Körper gemeint oder?
15.11.2009, 17:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge ist die Teilmenge von K^2 die die geforderte Bedingung erfüllt. Aber ja natürlich ist mit K immer derselbe Körper gemeint
15.11.2009, 17:26	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank :-) !!!!

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