Kern einer Komposition bzw. einer direkten Summe

15.11.2009, 15:12

Bruce_Wayne

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Kern einer Komposition bzw. einer direkten Summe

Hallo zusammen!

Bei ein paar Teilaufgaben von meinem Übungsblatt komme ich nicht weiter. Es geht, wie ihr seht, um den Kern einer Komposition und einer direkten Summer.

Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar!

$\begin{eqnarray*} f : V \to W , g: W \to X , h : Y \to Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad ker(f) \subset ker(g\circ f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad ker(g\circ f) = f^{-1} (ker(g)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad ker(f\oplus h) = ker(f)\oplus ker(h) \end{eqnarray*}$

15.11.2009, 17:26

Reksilat

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RE: Kern einer Komposition bzw. einer direkten Summe
Ansätze? Eigeninitiative?
Ich sehe hier nur eine Aufgabenstellung.

Gruß,
Reksilat.

16.11.2009, 20:41

Bruce_Wayne

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Hast natürlich recht, ich hatte aber noch nicht einmal einen Ansatz hinbekommen.

Heute hab ich mich ne Weile damit beschäftigt und für die ersten beiden folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 1. \quad f: V \to W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: W \to X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zz.: ker(f) \subset ker(f \circ g) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} ker(f) := \{v\in V | f(v) = 0 \} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ker(f\circ g) := \{v\in V | (f\circ g) (v) = 0 \leftrightarrow g(f(v)) = 0\} \end{eqnarray*}$
kann man in $\begin{eqnarray*} g(f(v))=0 \end{eqnarray*}$ die Gleichungl $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} g(f(v)) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow g(0) = 0 \end{eqnarray*}$

...hab noch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist...

Es geht nun aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} \rightarrow g(0) = 0 \end{eqnarray*}$ hervor, dass für alle $\begin{eqnarray*} v | f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (g \circ f (v) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Jetzt zu 2.:

$\begin{eqnarray*} f:V \to W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:W \to X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zz.: ker(g\circ f) = f^{-1}(ker(g)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ker ( g\circ f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (g\circ f)^{-1} (0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =f^{-1}(g^{-1}(0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =f^{-1}(ker(g)) \end{eqnarray*}$

Wäre super, wenn das jemand überprüfen könnte!

Und bei 3. häng ich immer noch...

Ach ja, wie macht man Absätze und Zeilenumbrüche in LATEX ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke!

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \} Gruß, Reksilat.

16.11.2009, 20:48

Bruce_Wayne

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Nochmal zur Vervollständigung:

Ich hab keinen Ansatz bei 3. weil ichs nicht verstehe und nicht weil ich chronisch faul bin... :P

Mein großes Problem dabei ist, dass ich direkte Summen nur von Vektorräumen kenne...mit Funktionen macht das doch gar keinen Sinn?!

16.11.2009, 21:01

Reksilat

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Zu 1): Dein Beweis ist vollkommen unstrukturiert. Dem kann keiner richtig folgen und gerade bei komplexeren Aufgaben wird sowas im Chaos enden.

Nimm Dir doch einfach ein $\begin{eqnarray*} x\in{\rm Ker}(f) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray*} x\in {\rm Ker}(g\circ f) \end{eqnarray*}$ ist. Die Argumentation verläuft eigentlich direkt geradeaus.

Zu 2): Hier gilt ähnliches. Nimm Dir ein $\begin{eqnarray*} x\in {\rm Ker}(g\circ f) \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}({Ker}(g)) \end{eqnarray*}$ . Anschließend die andere Richtung.

Deine bisherige Argumentation ist hier sogar falsch, da die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen gar nicht definiert ist. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M):=\{x|f(x)\in M\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Urbildmenge, diese kann man von jeder Funktion und jeder Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bilden, aber ein Umkehrfunktion existiert eben nicht immer.

Zu 3): Die Funktion $\begin{eqnarray*} f\oplus g \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} V\oplus W \end{eqnarray*}$ definiert. Seien $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (f\oplus g)(v \oplus w):=f(v)\oplus g(w) \end{eqnarray*}$
____________________________

Zitat:

Ach ja, wie macht man Absätze und Zeilenumbrüche in LATEX ?

Zeilenumbrüche erzeugst Du mit '\\', aber was meinst Du mit Absätzen?

Was man machen kann:
$\begin{eqnarray*} ker ( g\circ f) &=& (g\circ f)^{-1} (0)\\&=& (g^{-1} \circ f^{-1} ) (0)\\&=&f^{-1}(g^{-1}(0))\\&=&f^{-1}(ker(g)) \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex] ker ( g\circ f) &=& (g\circ f)^{-1} (0)\\&=& (g^{-1} \circ f^{-1} ) (0)\\&=&f^{-1}(g^{-1}(0))\\&=&f^{-1}(ker(g))[/latex]

Gruß,
Reksilat.

17.11.2009, 20:32

Bruce_Wayne

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So, da hab ich mich schnell mal angemeldet...

Meinst du das so(?):

$\begin{eqnarray*} 1. \quad x\in ker(f) \\<br /> zz.: x \in ker(g\circ f) \leftrightarrow g(f(x))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> g(f(x)) &=& 0 \\<br /> \leftrightarrow g(0)&=&0 \\<br /> \qed<br /> \end{eqnarray*}$

Bei 2. bekomme ich das irgendwie nicht hin...eigentlich müsste dieses Inverse doch immer definiert sein, da der Kern doch schließlich mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ definiert werden kann...oder mache ich jetzt irgendeinen fatalen Fehler?

Und bei 3. kann ich doch wohl schlecht schreiben:
$\begin{eqnarray*} ker(f \oplus h) &=& 0 \\<br /> \leftrightarrow f(v) \oplus h(w) &=& 0\\<br /> \leftrightarrow w \oplus z &=& 0 \\<br /> \leftrightarrow ker(f) \oplus ker(h) &=& 0 \\<br /> \\<br /> \rightarrow ker(f\oplus h) = ker(f) \oplus ker (h)<br /> \end{eqnarray*}$

(irgendetwas stimmt mit meinem Code nicht...:)

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

[latex]
ker(f \osum h) $=$ 0 \\
\leftrightarrow f(v) \osum h(w) $=$ 0\\
\leftrightarrow w \osum z $=$ 0 \\
\leftrightarrow ker(f) \osum ker(h) $=$ 0 \\
\\
\rightarrow ker(f\osum h) = ker(f) \osum ker (h)
[/latex]

oder?

Sonst schonmal vielen Dank, und ja, ich meinte natürlich nur den Zeilenumbruch..

Edit: LaTeX korrigiert. \OPLUS und nicht \OSUM. Außerdem & statt $ verwenden. Gruß, Reksilat.

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17.11.2009, 20:58

Reksilat

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Willkommen im Matheboard, Bruce! Wink

Wink

Lass doch mal bitte diese Äquivalenzpfeile weg. Die brauchst Du nicht. Die sind für eine anständige Argumentation vollkommen überflüssig.
Außerdem kapiere ich Deine Formulierung bei 1. immer noch nicht. Wieso versuchst Du denn nicht mal auf mich zu hören:

Zitat:

Nimm Dir doch einfach ein $\begin{eqnarray*} x\in{\rm Ker}(f) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray*} x\in {\rm Ker}(g\circ f) \end{eqnarray*}$ ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} x\in ker(f) \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Nun ist aber $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=g(f(x))=...? \end{eqnarray*}$ u.s.w.
Am Ende musst Du $\begin{eqnarray*} x\in ker(g\circ f) \end{eqnarray*}$ folgern.

Einen geschriebenen Beweis muss man lesen können wie eine gesprochene Argumentation. Man fängt mit der Voraussetzung an und formt diese um, bis man die Behauptung gezeigt hat.

Gruß,
Reksilat.

17.11.2009, 21:12

Bruce_Wayne

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Danke..

Ich habs ja so versucht, ich formuliere mal etwas verständlicher:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$ . Wie du auch nochmal geschrieben hast, bedeutet das $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Ich will zeigen, dass dieses $\begin{eqnarray*} x \in ker(g \circ f) \end{eqnarray*}$ , was allerdings bedeutet: $\begin{eqnarray*} g(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ Da ich am Anfang $\begin{eqnarray*} f(x) =0 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe, gilt $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Da das richtig ist, muss für jedes $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in ker(g \circ f) \end{eqnarray*}$ gelten. qed

das zum ersten...

17.11.2009, 21:14

Reksilat

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Zitat:

Da ich am Anfang $\begin{eqnarray*} f(x) =0 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe, gilt $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Da das richtig ist, muss für jedes $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in ker(g \circ f) \end{eqnarray*}$ gelten.

$\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt sowieso immer, das ist keine nachvollziehbare Argumentation! Du willst doch $\begin{eqnarray*} x\in ker(g\circ f) \end{eqnarray*}$ zeigen, also musst Du $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Gruß,
Reksilat.

17.11.2009, 21:20

Bruce_Wayne

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Ich glaub ich steh auf dem Schlauch...immer wenn ich es neu probiere komme ich auf den gleichen (falschen) Lösungsweg.

Mir ist schon klar, dass ich $\begin{eqnarray*} g(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ zeigen muss. Nur fragt sich wie...wär super, wenn du mir nen Tipp gibst, damit das nicht mehr so frustrierend bleibt! unglücklich

unglücklich

17.11.2009, 21:24

Reksilat

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Du hast doch schon alles. Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ linear ist und somit $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Mehr brauchst Du ja nicht.
Es geht vor allem auch darum, das vernünftig aufzuschreiben. Bei Dir ist das alles bisher noch ein heilloses Durcheinander.

17.11.2009, 21:44

Bruce_Wayne

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Achso, also war doch alles richtig...(bis auf die Form)...schließlich hatte ich ja geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} g(0) =0 \end{eqnarray*}$ .

[edit: wenn man sichs noch mal durchliest, stimmt das ja doch nicht ganz, da meine logischen folgerungen und damit der beweis falsch waren...sry]

Also:
$\begin{eqnarray*} zz.: ker(f) \subset ker(f \circ g) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x\in ker(f) \end{eqnarray*}$ .
Also gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Weil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch aus $\begin{eqnarray*} ker(f \circ g) \end{eqnarray*}$ sein soll, muss
$\begin{eqnarray*} (g(f(x)))=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein.
Da $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (g(f(x)))=g(0) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ linear, muss $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ , also wird jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (g\circ f) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet.
$\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

...sag bitte, dass das so ok ist.. Gott

Gott

Zu 3. nehme ich mal an, dass man nicht einfach schreiben kann:
$\begin{eqnarray*} ker(f \oplus h) &=& 0 \\<br /> f(v) \oplus h(w) &=& 0\\<br /> w \oplus z &=& 0 \\<br /> ker(f) \oplus ker(h) &=& 0 \\<br /> \\<br /> \Rightarrow ker(f\oplus h) = ker(f) \oplus ker (h)<br /> \end{eqnarray*}$

Thx

17.11.2009, 22:11

Reksilat

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1. ist OK.

3. ist Quatsch. Wieso sollte $\begin{eqnarray*} ker(f \oplus h) &=& 0 \end{eqnarray*}$ sein? Der Kern ist außerdem eine Menge, der kann nicht 0 sein.

Das ist wieder ein analoges Vorgehen wie bei 1. Nimm Dir zuerst ein $\begin{eqnarray*} x\in ker(f\oplus g) \end{eqnarray*}$ , dann kann man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x=v+w \end{eqnarray*}$ schreiben, mit $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ .
(Da der Kern eine Teilmenge des Urbildraums $\begin{eqnarray*} V\oplus W \end{eqnarray*}$ ist.)

Wenn Du nun zeigst, dass $\begin{eqnarray*} v\in ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in ker(g) \end{eqnarray*}$ liegen, dann ist $\begin{eqnarray*} x=v+w\in ker(f)\oplus ker(g) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} ker(f+g)\subseteq ker(f)\oplus ker(g) \end{eqnarray*}$ .
Die andere Inklusion muss dann auch noch gezeigt werden.

18.11.2009, 15:43

Bruce_Wayne

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Das 1 jetzt richtig ist beruhigt mich ja schonmal.

DU hast natürlich Recht, dass 3. falsch ist. Hab ich nur iwie erst jetzt gesehen, keine Ahnung, was ich mir da gestern gedacht hatte...

Aber ich wüsste nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} v\in ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in ker(h) \end{eqnarray*}$
zeigen sollte. Ich könnte höchstens argumentieren, dass durch die Eindeutigkeit der direkten Summe $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(v) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, und damit $\begin{eqnarray*} v\in ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in ker(h) \end{eqnarray*}$ , aber irgendwie bezweifle ich, dass das so richtig ist.

18.11.2009, 16:02

Reksilat

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Doch, das klingt, als wenn Du dir richtige Idee hättest. Wenn $\begin{eqnarray*} f(v)+h(w)=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann müssen auch beide Summanden $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, da ja $\begin{eqnarray*} f(v)\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(w)\in Z \end{eqnarray*}$ ist.

18.11.2009, 21:08

Bruce_Wayne

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Gut, ich glaube den Rest bekomme ich dann auch alleine hin.

Vielen Dank für Deine ganze Hilfe!

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