Beweise für de Morgan`sche Regeln/ Disbtributivgesetze/ Assoziativgesetze

15.11.2009, 15:37	Paninikätzchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise für de Morgan`sche Regeln/ Disbtributivgesetze/ Assoziativgesetze Hallo zusammen, wir sollen für das de Morgan`sche Gesetz, Distributivgesetz und Assotiativgesetz BEWEISE aufstellen, für eine beliebige Menge A,B,C. Ich stehe da grade aber irgendwie auf der Leitung... Bzw. weiß nicht, wie ich das am besten beweisen kann/soll. Kann mir jemand helfen? Bitte? Viele Grüße, ein Mathekätzchen
16.11.2009, 14:00	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die erste de Morgan'sche Regel lautet: $\begin{eqnarray} \overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray}$ Wie beweist man das? Na, einfach indem man nachweist, dass die eine Seite in der anderen Seite enthalten ist und umgekehrt. Behauptung: $\begin{eqnarray} \overline{A\cup B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} a \in \overline {A \cup B} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a \notin A \cup B \end{eqnarray}$ (nach Definition) $\begin{eqnarray} \Rightarrow a \notin A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \notin B \end{eqnarray}$ (sonst Widerpruch) $\begin{eqnarray} \Rightarrow a \in \overline {A} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \in \overline {B} \end{eqnarray}$ (nach Definition) $\begin{eqnarray} \Rightarrow a \in \overline {A} \cap \overline {B} \end{eqnarray}$ (nach Definitiion) Und damit ist die Behauptung gezeigt. Genauso beweist man dann die andere Richtung. Behauptung: $\begin{eqnarray} \overline{A\cup B} \supseteq \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} a \in \overline {A} \cap \overline {B} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a \in \overline {A \cup B} \end{eqnarray}$ Und damit ist die geforderte Gleichheit gezeigt. Man hätte im obigen Beweis übrigens auch mit Äquivalenzrelationen arbeiten können, dann hätte man beide Richtungen in einem Aufwasch erledigt. Die zweite de Morgan'sche Regel, das Distributivgesetz und das Assoziativgesetz werden dann (im dümmsten Fall) nach genau dem gleichen Schema bewiesen. Na, für meinen Geschmack eine schöne Fleißarbeit, die ich dann (faul wie ich nun mal bin) lieber dir überlassen möchte ... Grüße
17.11.2009, 12:57	Paninikätzchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke - damit kann ich jetzt zumindest schonmal etwas anfangen!! Faul bin ich eigentlich nicht, nur passt mir das ganze momentan leider überhaupt nicht...noch dazu komm ich momentan selten dazu, die Aufgabe mal in Ruhe zu durchdenken... LG Paninikätzchen
05.03.2014, 18:22	Hannes T.	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung umformen statt x Ich hätte noch eine ergänzende Frage: Warum muss man in den Beweis-Modus mit x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ von usw. wechseln, warum reicht es nicht aus einfach die obige Gleichung äquivalent umzuformen, so wie man es ja üblicherweise macht, also eine Gleichung so lange umzuformen bis das gewünschte gezeigt ist

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