Lineare Unabhängigkeit

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Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit
Hi Forum!

Eine kleine Aufgabe zur Linearen Algebra, da ich gern einmal wissen möchte wie so ein richtiger, vollständiger Beweis zu so einer Aufgabe aussehen sollte.

Seien [; v_1,....,v_n \in V;] linear Unabhängig, V ein K-Vektorraum. Seien [; \lambda_2,...\lambda_n \in K ;]. Zeigen sie, dass die Vektoren [; v_1,v_2+\lambda_2v_1, v_3+\lambda_3v1,....,v_n + \lambda_nv_1;] linear unabhängig sind.

Gruß

Johnsen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit
du hast doch die linear unabhängigen vektoren
nun zeigst du für

indem du den nullvektor als linearkombination darstellst:
dass die linear unabhängig sind.
nun musste noch nen bisschen umstellen und schon kannste sagen, dass die vektoren linear unabhängig sind, warum?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi danke für deine schnelle Antwort!



hab dann nach dem sortieren:



Gehe ich recht in der Annahme, dass die Summe nach Def. lin. unab. is, weil ja a immer unabhänig ist, und ebenso laut Definiton die Klammer nach dem v1 auch null sein muss?

Gruß

Johnsen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

die summe ist nicht linear unabhängig, die Vektoren sind es;
wenn alle alphas in dem Körper liegen und alle lambdas auch, dann liegen doch auch beliebige summen und produkte in dem Körper, nun sind die Vektoren linear unabhängig und du hast eine Linearkombination der vektoren die den nullvektor darstellen, wie müssen denn dann die skalare aussehen?
richtig, sie müssen 0 sein.
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

naja alle skalare müssen dann 0 ergeben oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, da die vektoren linear unabhängig sind existieren keine skalare ungleich 0, dieser riesen ausdruck in der klammer nach dem v_1 ist letzendlich auch nur ein skalar....
 
 
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok soweit is ja alles klar. und was mach ich dann jetzt mit der Summe? muss ja auch für die Nachweisen, dass sie l.u. ist. Und du hast ja vorhin geschrieben, dass sie nicht l.u. ist? Was nun?

Danke schonmal für deine Hilfe!! FInd ich spitzenmäßig!

Gruß

Johnsen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Summen sind nicht linear unabhängig, die vektoren die in der summe stehen sind es.
du sollst bei deiner aufgabe nicht zeigen, dass irgendeine summe linear unabhängig ist, die vektoren in der summe sind doch v_2,...,v_n und die sind nach vorraussetzung linear unabhängig, für die gibt es auch keien alphas in dem körper die nicht null sind.
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich schon gemeint, dass somit nach Vorraussetzung alle Alphas in der Summe 0 sein müssen! Nur wir haben eben die Defintion so gemacht, dass wenn l.u. gilt, dass dann die Summe = 0 ist, wobei alpha1 bis alphan = 0 sind. Damit war ich in meinen vorherigen Post etwas sprachlich ungenau wenn ich gesagt hab "die summe ist l.u.", da hast du recht!

Danke für deine Hilfe !! Großes lob!

Gruß

Johnsen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

die summe ergibt den nullvektor, man schreibt ihn auch als 0, aber immer im kopf behalten, es ist nicht die zahl 0 sondern der nullvektor.....
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