Drehachse/winkel zweier Vektoren bestimmen

15.11.2009, 22:55

Pit577

Drehachse/winkel zweier Vektoren bestimmen

Hi,
ich bin grad bei einer Aufgabe ein wenig unsicher ob ich das richtig verstanden hab:

Ich habe zwei Ursprungsvektoren und will die Drehachse und den Drehwinkel um den einen in den anderen zu drehen. (3 Dimensonal)
Die Achse ist dann der Vektor senkrecht auf den beiden und der Winkel der dazwischen?

Ich habe zu dem Thema nur was für Matrizen gefunden...

Vielen Dank schonmal

15.11.2009, 23:00

David_pb

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RE: Drehachse/winkel zweier Vektoren bestimmen

Zitat:

Original von Pit577
Ich habe zwei Ursprungsvektoren und will die Drehachse und den Drehwinkel um den einen in den anderen zu drehen. (3 Dimensonal)
Die Achse ist dann der Vektor senkrecht auf den beiden und der Winkel der dazwischen?

Das wäre wohl der einfachste Fall. Hier würdest du den entsprechenden Vektor ja per Kreuzprodukt bekommen und wegen $\begin{eqnarray*} \|a \times b\| = \|a\|\|b\||\sin \gamma | \end{eqnarray*}$ hast du direkt auch noch den Winkel dazu.

16.11.2009, 02:34

pit578

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ah perfekt danke smile

was wäre wenn ich den Winkel unbedingt für eine Drehung im mathematisch positvem Sinne brauche (also Winkle uU. >180°)?
Irgendwie find ich mal wieder nix...oder sollte mal schlafen gehen

16.11.2009, 09:53

der david

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Wir sind auch grade bei dem Thema (allerdings ganz viel mit Matrizen =D).
Wie du schon richtig erkannt hast, berechnest du mit dem Kreuzprodukt immer den eingeschlossenen Winkel <=180 Grad. Ich glaube, das ist einer dieser mathematischen Fälle, in denen man sich überlegen muss, wie die Vektoren liegen und dann entscheiden zwischen:
Gamma = 360° - errechneter Winkel
Gamma = errechneter Winkel

Im Papula steht dazu auch garnix.

Korrigiert mich, wenn ich Mist erzähle.

16.11.2009, 11:00

Pit577

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Ich maß mir mal keine Korrektur an Augenzwinkern

Aber ich glaub auch dass das komliziert werden könnte, ne einfache Formel hab ich bisher mal nicht gefunden...

16.11.2009, 11:35

Ehos

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Gegeben sind zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {a}, \vec {b} \end{eqnarray*}$ . Gesucht sind der Drehwinkel und die Drehachse. Prüfe erst mal, ob beide Vektoren den gleichen Betrag haben, also

$\begin{eqnarray*} |\vec {a}|=|\vec {b}| \end{eqnarray*}$ .

Anderenfalls ist die Aufgabenstellung sinnlos. Wenn die Beträge identisch sind, ist der gesuchte Drehhwinkel einfach der Winkel zwischen beiden Vektoren, also

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=\frac{\vec a \cdot \vec {b}} {|\vec {b}| \cdot |\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

Unter der Drehachse verstehen wir den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec {n} \end{eqnarray*}$ , der senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec {a}, \vec {b} \end{eqnarray*}$ steht, also

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{\vec a \times \vec {b}} {|\vec {b} \times \vec{b}|} \end{eqnarray*}$

Oft definiert man auch den "Drehvektor" $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec {n} \end{eqnarray*}$ , also das Produkt aus Drehwinkel und Drehachse. Dieser Vektor gibt bei einer kontinuierlichen Drehung den momentanen Drehwinkel und die momentane Drehachse an. Der Vorteil ist, dass die Ableitung dieses Vektors nach der Zeit gerade die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist. Damit hat man eine ähnliche Situation wie bei der Translation, wo die die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit gerade die Geschwindigkeit, also $\begin{eqnarray*} \dot \vec {x}=\vec {v} \end{eqnarray*}$

16.11.2009, 12:00

Gregor L

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Hi, ich habe zufällig die selbe Aufgabe.

Kann das sein, dass du dich bei der Normierung des Drehvektors verschrieben hast?

Warum macht die Aufgabe nur bei gleichlangen Vektoren sinn? (bin mathematisch kein Held)

Gruß, Gregor

17.11.2009, 09:28

Ehos

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Die Frage macht nur dann einen Sinn, wenn der Original- und der Bildvektor der Drehung identisch sind. Du fragst, warum? Weil das laut Definition einer Drehung so ist... Wenn Du das Rad an deinem Fahrrad drehst, dann bleiben die Längen der Speichen identisch. Anderenfalls wäre es eine Verzerrung - kene Drehung

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