Elastizität eines Integrals?

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novi Auf diesen Beitrag antworten »
Elastizität eines Integrals?
Könnte mir evtl. jemand helfen, wie ich von der folgenden (CES-) Funktion eine Elastizität ausrechne?



Es sollte 1/(1-n) rauskommen, nur weiß ich nicht wie ich da hin komme....

Danke!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Hallo!

Kannst du das Integral ausrechnen?

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Ich glaube da scheitert es leider schon....

Übrigens ist da auch ein Fehler in der Formel. Es ist z mit dem Index i und integriert wird nach di. Aber ich wusste nicht, wie ich Indizes darstelle.

Danke!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Da sollten wir uns erstmal über die Formel einigen:



Soll es das sein?

Den Index kriegst du so: z_i =

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Hey,

also die richtige Formel lautet:



Schon mal danke für diesen Tip.
Und wäre super, wenn ich das dann auch mal checken würde. Ich habe da nämlich noch so einige Integrale zu lösen....

Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Zitat:
Original von novi
also die richtige Formel lautet:



Was bedeutet dieses integrieren nach dem Index? Welche Indices gibt es hier? Von was ist das Y abhängig?

Für mich sieht das eher nach einem Schreibfehler aus, d.h. ich verstehe die Aufgabe so nicht.

Grüße Abakus smile
 
 
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Hey,

doch das Integral in dem Paper sieht genau so aus. Bei handelt es sich um den Anteil des Inputfaktors i. Mir ist auch nicht klar, warum hier nicht nach dz integriert wird.

Als Subsitutionselasitzität soll ja wie gesagt so was wie .

Hast du eine Idee, wie ich da hin komme? Danke!

Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Zitat:
Original von novi
Hey,

doch das Integral in dem Paper sieht genau so aus. Bei handelt es sich um den Anteil des Inputfaktors i. Mir ist auch nicht klar, warum hier nicht nach dz integriert wird.


Vielleicht ist in dem Paper ja irgendwo definiert, was mit gemeint ist? Normalerweise sollte das so sein.

Scheinbar sind ja Inputfaktoren? Ist ein bestimmter Typ von Produktionsfunktion vorgegeben bzw. wie lautet die Produktionsfunktion überhaupt (s. auch meine obigen Fragen nochmal) ?


Zitat:
Als Substitutionselasitzität soll ja wie gesagt so was wie .


OK, es geht also um die Substitutionselastizität und nicht um die (normale) Elastizität. Da besteht ein Unterschied!

Welcher Faktor soll jetzt in welchen substituiert werden, und was ist ggf. bereits über die Grenzrate der Substitution bekannt?

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

sorry, dass ich mich erst jetzt melde. War die letzten Tage unterwegs. Aber es wäre super, wenn du mir helfen könntest.

Also:
Es wird nirgends definiert worum es sich bei handelt.
sind Inputfaktoren, genauer Zwischenprodukte. Und bei der Produktionsfunktion handelt es sich um eine CES Produktionsfunktion. Also wird von einer konstanten Substitutionselastizität ausgegangen.
Über die Grenzrate der Substitution wird nichts gesagt und natürlich leider auch nicht über die zu substituierenden Faktoren.

Sie spielen dann die verschiedenen Fälle durch. n=0 Cobb-Douglas Fall (geometrisches Mittel) und bei n<0 also folglich eine Substitutionselastizität kleiner 1. Woraus also eine höhere Komplementarität bei Zwischenprodukten folgen würde - was ja durchaus plausibel ist.
Generell geht es um Unterschiede in der Komplementarität von Zwischenprodukten und Endprodukten. Und es wird die sogenannte "weak links" story beschrieben. Je höher die Komplementarität, desto mehr Gewicht liegt auf dem Produkt, dem Sektor mit niedriger Produktivität. Andererseits wirken sogenannte Superstareffekte wenn Güter einfach zu substituieren sind.

Im Prinzip ist das alles sehr interessant. Nur habe ich es leider noch nicht komplett verstanden.
Kannst du mir helfen die entsprechende Substitutionselastizität herzuleiten?
Danke!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Ich finde den Ansatz für die Produktionsfunktion nicht und stecke bei den Bezeichnungen nach wie vor fest.

Was bedeutet denn:



und was ist im Fall von n=2 dann zB





D.h. wie wird das Produktionsniveau genau berechnet?

Wenn wir von ausgehen, wäre:



D.h. die Produktion ist immer konstant? Wie beeinflussen dann die beiden Faktoren die Produktion?

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Was auf jeden Fall ja konstant sein muss ist die Substitutionselastizität. Da es sich ja um eine CES Funktion handelt. Und auf die entsprechende Formel würde ich gerne kommen ().

Es wird das Bsp. einer Sockenproduktion gegeben. Mit als Anzahl der zur Verfügung stehenden Maschinen, als Vorhandene Lizenzen usw. usf.
Ja nachdem wie n gewählt wird, liegt mehr Gewicht auf den produktiveren oder weniger produktiven Inputfaktoren. Eine konstante Produktion ist also nicht richtig.

Würde es dir helfen das Paper zu kennen?

Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Zitat:
Original von novi
Würde es dir helfen das Paper zu kennen?


Möglicherweise ja. Der Verfasser wird ja irgendwas erklärt haben.

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Es geht um das Paper:

Intermediate goods, weak links, and superstars:
A theory of economic development

Charles I. Jones
Working Paper 13834

Das Beispiel zur Substitutionselastizität ist auf Seite 8

Vielen Dank für die Hilfe!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Erstmal danke für die Quelle (sie lässt sich im Web als pdf finden Augenzwinkern ). Der schreibt das Integral lustig einfach so hin verwirrt .

Ich muss es mit etwas Zeit mal genauer anschauen...

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Ich danke dir!!

Ich weiß, er schreibt das einfach so hin.

Hänge in dem Paper an mehreren Stellen fest...aber Zeit und wieder und wieder lesen hat auch da schon etwas geholfen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Es ist wohl wirklich so etwas gemeint:



Für mich bleiben da einige Fragen offen, zB ob das überhaupt integrierbar ist und wo die ganzen Produktionsfaktoren herkommen sollen.

Ich würde dazu zunächst die Quelle suchen, wo das Modell und Vorgehen genau erklärt ist; ohne dass wird es mit einem genauen Verständnis schwierig (die Quelle muss es irgendwo geben, da das Modell ja als "recht" bekannt angesehen wird).

Gemeint ist hier jedenfalls eine Verallgemeinerung des Mittelwerts (Hölder-Mittel (Wiki)) auf den Fall unendlich vieler Variabler.

Den ersten Versuch, die Substitutions-Elastizität zu berechnen, würde ich mit einer Vereinfachung starten, ggf. lässt sich das ja verallgemeinern. Diese wäre:



Dafür müsste es - als einfachster Fall - ja auch stimmen.

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Um ehrlich zu sein, komme ich immer noch nicht wirklich weiter.

Wenn ich deinem Vorschlag mit der Vereinfachung folge ergibt sich für die GRS .
Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, wie ich bei weiterkomme. Ich ende im Moment bei .


Wie komme ich zu ?

Kannst du mir ein Buch empfehlen, um das Paper und die Mathematik dahinter besser zu verstehen?

Danke!
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Ach ja und wie kann ich den vorherigen Eintrag löschen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Zitat:
Original von novi
Wenn ich deinem Vorschlag mit der Vereinfachung folge ergibt sich für die GRS .
Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, wie ich bei weiterkomme. Ich ende im Moment bei .


Ja, die Berechnung ist ein ziemlicher Wust.

Mal der Reihe nach:

Definiert ist:



Eine vernünftige Produktionsfunktion (mit konvexen Isoquanten) ist das für .

Der Fall ergibt ein lineares Produktionsmodell mit totaler Substitution (ein Faktor kann den anderen vollständig ersetzen), der Fall ist noch getrennt zu untersuchen.

Wir haben:



Deine Substitutionselastizität schreibe ich nun mal etwas anders:







Den ersten Nenner können wir ausrechnen:



Damit kennen wir alle Terme und setzen ein:



Jetzt kürzen:



Zitat:
Kannst du mir ein Buch empfehlen, um das Paper und die Mathematik dahinter besser zu verstehen?


Vielleicht das von Hammond/Sydsaeter, Math. f. Wirtschaftswissenschaftler. Das gibt hier zumindest eine Basis und enthält einen Abschnitt darüber.

Interessant hier zB, dass sich die Substitutionselastizität für linear homogene Funktionen auch so berechnen lässt:



Zitat:
Ach ja und wie kann ich den vorherigen Eintrag löschen?


Erledigt.

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Ok, vielen Dank!

Ich hätte allerdings noch eine Frage. In dem Paper S. 14 wird das symmetrische Gleichgewicht errechnet. Im Prinzip substituieren sie die Terme nur. Eine Optimierung kommt ja erst später.

Ich hänge allerdings an dem und dem andern Technologieterm. Wie kann ich denn die Integrale der Terme und analog des X Terms auf Funktion übertragen? Mir ist klar, dass ich dann die konstanten Terme vor das Integral ziehen kann, allerdings weiß ich trotzdem nicht wie ich weiter komme.

Und wie kann ich andere griechische Buchstaben schreiben?

Danke!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Griechische Buchstaben gehen so:

\mu =

\pi =

usw.

Die Stelle im Paper müsste ich mir erst anschauen, du kannst dich ggf. ja mal versuchen und erklären, wo du genau festhängst.

Grüße Abakus smile
novi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Hallo,

ich bin es mal wieder.
Könntest du mir erklären, wieso die CES-Produktionsfunktion mit der Substitutionselastizität für gegen die Minimumfunktion konvergiert?

Und warum sie für gegen die Maximumfunktion konvergiert?

Vielen, vielen Dank!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität eines Integrals?
Dein Integral müsstest du weiterhin erstmal ausrecherchieren. Ich nehme daher mal die speziellere Summe und betrachte das Maximum (das Minimum geht ähnlich dann):



Ohne Einschränkung sei das Maximum der , dann gilt:



Wenn du jetzt immer größer machst (den Grenzwert betrachtest), siehst du, was rauskommen muss.

Die Idee ist hier eine Abschätzung also.

Grüße Abakus smile
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