Unterraum endlich dimensional?
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17.11.2009, 13:29 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum endlich dimensional?
Hallo alle zusammen. Hab nur mal kurz ne Frage:
hab hier ne Hausaufgabe und komm bei ner kleinigkeit nicht weiter, vielleicht steh ich auch nur aufm Schlauch..aber wär cool, wenn ihr das nur nochmal kurz erläutern könntet.
Also :-)

Welche der folgenden Mengen U sind (lineare) Unterräume des -Vektorraums V? Welche von diesen sind endlich dimensional?

a) V= ² , U= {(x1, x2) ² | x1²- x2² = 0}

hab jetzt schon gezeigt, dass es ein Unterraum ist, da bei z.B. (1,1) und (2,2) gilt: [(1+2),(1+2)] = (3,3) ist auch wieder in V,

und mit nem Lambda aus R multiplizieren, bleibt auch in V und so weiter mit dem Nullvektor etc.

meine Frage ist nur: wie gucke ich ob U endlich-dimensional ist oder eben nicht?
wir hatten in der Übung: "U heißt endlich dimensional, wenn ein n aus den nat. Zahlen existiert, sodass je n+1 Vektoren aus U lin. abh. sind."
bringt mich jetzt leider auch nicht weiter...

danke schonmal für die Hilfe!
17.11.2009, 13:56 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
Zitat:
Original von Raggy
hab jetzt schon gezeigt, dass es ein Unterraum ist, da bei z.B. (1,1) und (2,2) gilt: [(1+2),(1+2)] = (3,3) ist auch wieder in V,

Und du meinst, ein Beispiel angeben reicht für einen Beweis? unglücklich

Ich habe auch gerade einen tollen Satz erfunden:
Alle Kubikzahlen sind mit sich selbst identisch.
Beweis: (-1)³ = -1, 0³ = 0 und 1³ = 1 ==> Satz bewiesen.

Ich habe sogar 3 Beispiele angegeben.

Versuche mal bei deiner Aufgabe die elemente (1, 1) und (1, -1).
17.11.2009, 14:03 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
Haste wohl Recht :-) dagegen, würde das reichen um zu zeigen, dass es kein Unterraum von V ist?

sonst hab ich da wohl was grundlegendes nicht verstanden und les mich lieber nochmal ein wenig schlauer... :-)
17.11.2009, 14:13 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
Zitat:
Original von Raggy
würde das reichen um zu zeigen, dass es kein Unterraum von V ist?

In der Tat. Augenzwinkern
17.11.2009, 14:20 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
ich habe jetzt aber bei b) V=R³ , U= {(x1,x2,x3)R³| x1²+x2² = 0} auch heraus, dass es kein unterraum ist, da das für alle x1 und x2 ungleich 0 ja nicht hinhaut, oder?
falls das jetzt mal stimmen sollte...für welchen unterraum soll ich dann zeigen, dass er endlich dimensional ist oder nicht??
17.11.2009, 14:31 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
Zitat:
Original von Raggy
ich habe jetzt aber bei b) V=R³ , U= {(x1,x2,x3)R³| x1²+x2² = 0} auch heraus, dass es kein unterraum ist, da das für alle x1 und x2 ungleich 0 ja nicht hinhaut, oder?

Richtig.

Zitat:
Original von Raggy
falls das jetzt mal stimmen sollte...für welchen unterraum soll ich dann zeigen, dass er endlich dimensional ist oder nicht??

Keine Ahnung. Ich weiß ja nicht, mit welchen "Unterräumen" du zu tun hast.
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17.11.2009, 14:35 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum endlich dimensional?
na gut :-) großes Danke trotzdem!!
18.11.2009, 07:27 Bili Auf diesen Beitrag antworten »

Nur damit hier kein falsches Statement in der Luft steht. Die Menge U aus Aufgabe b) ist sehr wohl ein Unterraum von V. Denn es gilt folgendes:

x1^2 + x2^2 = 0 ----> x1 = x2 = 0

Das bedeutet aber nur, dass alle Elemente deiner Menge U die Darstellung:

(0,0,x3)

besitzen. Diese Vektoren liegen allerdings alle im R3 und sind auch für die Addition und Multiplikation abgeschlossen, somit bildet U einen Unterraum von V!
18.11.2009, 08:34 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja...sowas in der Art hat mir ein Mitstudent gestern auch noch erklärt.. Augenzwinkern

vielleicht könnte man ja auf die Ausgangsfrage zurück kommen?! smile
Wie kann ich zeigen, ob der Unterraum endlich dimensional ist oder nicht??
18.11.2009, 09:08 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bili
Nur damit hier kein falsches Statement in der Luft steht. Die Menge U aus Aufgabe b) ist sehr wohl ein Unterraum von V

Stimmt. Da habe ich was übersehen. Hammer

Zitat:
Original von Raggy
Wie kann ich zeigen, ob der Unterraum endlich dimensional ist oder nicht??

Gib für den Unterraum eine Basis an.
18.11.2009, 09:21 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »

wenn x1 = x2 = 0 , dann würde ja {(0,0,1)} reichen um alle Punkte darzustellen, oder?!
18.11.2009, 09:41 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
18.11.2009, 09:56 Raggy Auf diesen Beitrag antworten »

und das wars dann??
Da der Unterraum nur einen linear unabhängigen Vektor besitzt ist er endlich dimensional. (?)
18.11.2009, 10:22 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Besser gesagt: da sich der Unterraum aus endlich vielen Vektoren erzeugen läßt oder da die Basis aus einem Vektor besteht. Je nachdem, welche Begriffe ihr behandelt habt.
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