Satz von Wilson

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Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Wilson
Hallo miteinander,
ich soll zeigen, dass in einem endlichen Körper K das Produkt aller von 0 verschiedenen Elemente gleich -1 ist. (Was wohl der Satz von Wilson sein soll). Aber wie? Wieso kann überhaupt eine negative Zahl herauskommen? Können die Elemente des Körpers negativ sein? Hat es etwas mit den Inversen zutun? Weil invers zu -1 widerum -1 ist, sodass man es als nur 1 Element zählt und es "übrig bleibt", während sich die anderen Elemente mit ihrem Inversen zu 1 aufheben?
Danke
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, da du dich in einem endlichen Körper befindest, wird dieser wo ein Primkörper sein.

es gilt damit also für p Prim und K dieser Körper
-1 ist kongruent zu p-1

Was passiert wenn, du alle Elemente von 2 bis p-2 multiplizierst?

mfg.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was passiert?! Was meinst du mit kongruent?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@sergej88
endliche Körper sind nicht nur die Primkörper , da gibt es noch reichlich mehr. Deren Konstruktion ist sehr interessant, nützlich sind sie auch, und ihre Struktur ist im Wesentlichen bekannt.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hab mal einen F4 Körper konstruieren müssen.

Also Modulorechnen für diesen Fall unangebracht oder doch Zielführend..
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

also..? verwirrt
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Satz von Wilson kenne ich einen Beweis, der die Struktur der multiplikativen Gruppe benutzt.
Der Beweis sollte sich verallgemeinern lassen. Aber nur wenn der Satz für alle endlichen Körper stimmt, sonst nicht. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheitengruppe eines endlichen Körpers ist immer zyklisch, d.h. für ist sie isomorph zu der additiven Gruppe



und jetzt muss man nur noch nachrechnen, was die Summe aller Elemente aus dieser Gruppe ergibt und das Urbild des Ergebnisses unter dem Isomorphismus suchen.
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