Dimension bestimmen

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension bestimmen
Hallo Matheboarder.
Habe noch eine neue Aufgabe die sieht so aus (im Anhang)

Hier habe ich bisher nur mit U_1 begonnen. Habe zuerst die Vektoren auf lineare Abhängigkeit getestet in der Matrix

\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} (die Vektoren sind hier in Zeilen geschrieben)

Habe es dann umgeformt, mit dem Ergebnis ,dass die letzte Zeile eine komplette Null-Zeile geworden ist. Somit ist ein Vektor von den anderen beiden abhängig, was bei mir so aussieht

.
Aber wie mache ich jetzt weiter um die Dimension zu berechnen für ? Oder bin ich jetzt schon fertig? Und die Dimension ist 2?
Über Hilfe zu diesem thema würde ich mich freuen.
Ich denke mal U_2 geht dann analog dazu.
Das letzte geforderte mit dem schneiden von U_1 und U_2 geht über den Dimensionssatz.
Ist das so korrekt?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

So weit alles richtig.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Also reicht es so aus, dass ich die Dimension hier mit zwei bestimme, indem ich zeige, dass einer der Vekotren sich aus zwei der anderen zusammensetzt? Kommt mir irgendwie ein bissl kurz vor das ganze verwirrt Das reicht echt? Bin grad ein bissl baffm, wahrscheinlich deshalb weil es anscheindend so wenig ist.

Gut dann werde ich es jetzt noch für machen und die beiden noch schneiden bzw den Satz anwenden und dann die vermeintliche Lösung hier posten.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Durch die Umformungen des Gauß-Algorithmus bildest du Linearkombinationen der Vektoren. Damit zeigst du, dass du nicht alle Vektoren benötigst, um einen beliebigen Vektor in U_1 darzustellen, sondern nur zwei. Damit hast du eine Basis und auch die Dimension.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

So für habe ich es jetzt so gemacht um die Dimension zu bestimmen:
Ich habe und in eine Matrix geschrieben die so aussieht:



Aus Zeile 1 folgt:



Aus Zeile 2 folgt:



So als ergebniss vektor für die Basis gilt



So da ich nur noch zwei Variable habe, und sind durch und festgelegt beträgt meine Dimension des Raumes 2. Nun muss ich nur noch 2 linear unabhängige Vektoren finden die meinen Raum auf spannen dazu wähle ich etwa und So korrekt?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, ob das jetzt stimmt? Ich will dir nicht sagen "falsch", aber für mich hast du jetzt eine Basis für den Lösungsraum einer Gleichung Ax = 0 berechnet.
Eigentlich warst du schon fertig. Wenn du die Matrix mit den 3 Vektoren umformst, bis du zur Nullzeile kommst (und sonst Zeilenstufenform vorliegt) hast du in Zeile 1 und 2 eine Basis für deinen Unterraum.
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich poste dir mal das was ich bei mir am Zettel stehen habe, ich hoffe du kommst mit meiner Schrift klar. Dann kannst du mir ja evtl schon sagen ob das für die Dimension ausreicht, dait man die bestimmen kann
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wunderbar. Die beiden oberen Vektoren sind eine Basis für U_1. Warum? Weil du die drei so lange linearkombiniert hast, bis du Zeilenstufenform (streng genommen müsstest du noch eine Null unter der -1 oben links erzeugen ...) erreicht hast. Damit hast du eine Basis.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat von Mr. Brightside(streng genommen müsstest du noch eine Null unter der -1 oben links erzeugen ...

Ah ja ich sehe es. So könnte meine Matrix nach einem weiteren Umformschritt etwa so aussehen (die letzte Zeile lasse ich jetzt weg, da ssie nur aus 0en besteht)

Ich multipliziere die erste Zeile mit und addiere sie auf die zweite, dann erhalte ich :


Könnte jetzt die erste und die zweite Zeile mit multiplizieren wodruch ich wieder

erhalte.

die Basis lautet dann

und


Aber ich könnte auch die von mir auf dem Anhang genannten Vektoren als Basis benutzen oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber Zeilenstufenform ist das immer noch nicht. :P Unter der linken 1 muss dann eine Null stehen, nicht unter der rechten. Sonst stimmen deine Aussagen.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

So U_2 hab ich auch soweit. Dieser sollte auch eine Dimension von 2 haben, da sich wieder ein Vektor durch die anderen beiden darsstellen lässt.
Was mir hier jetzt aber auffällt ist, dass in beiden Teilräumen der Vektor
in beiden Teilräumen auftauscht. Kann ich denn dann jetzt immer noch ohne Probleme die Dimensionsfornmel verwenden? Ne oder? Müsste doch dann jetzt wieder die Basis vektoren der beiden Teilräume in eine Matrix schreiben oder und dann wieder gaußmäßig umformen oder?
Könnten die beiden Teilräume, wenn man sie addiert einen oder aufspannen?
Aber wenn man sie schneidet, dann kann der entstanden Teilraum nicht über das hinausgehen oder,? Da die beiden Teilräume aus denen der neue Teilraum entsteht beide nur eine Dimension von 2 haben.
Ist das so korrekt

Edit: Zur letzten Antwort: Aber ist das nicht gehopst wie gesprungen wie ich die Zeilenstufenform mache?Oder ist das wichtig, dass ich es so mache wie du sagst?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
So U_2 hab ich auch soweit. Dieser sollte auch eine Dimension von 2 haben, da sich wieder ein Vektor durch die anderen beiden darsstellen lässt.
Was mir hier jetzt aber auffällt ist, dass in beiden Teilräumen der Vektor
in beiden Teilräumen auftauscht. Kann ich denn dann jetzt immer noch ohne Probleme die Dimensionsfornmel verwenden? Ne oder? Müsste doch dann jetzt wieder die Basis vektoren der beiden Teilräume in eine Matrix schreiben oder und dann wieder gaußmäßig umformen oder?
Könnten die beiden Teilräume, wenn man sie addiert einen oder aufspannen?
Aber wenn man sie schneidet, dann kann der entstanden Teilraum nicht über das hinausgehen oder,? Da die beiden Teilräume aus denen der neue Teilraum entsteht beide nur eine Dimension von 2 haben.
Ist das so korrekt


Die Dimensionsformel berücksichtigt doch gerade, dass evtl. ein Vektor in beiden Basen vorkommt, eben dadurch, dass du die Dimension des Schnitts abzeihst. Du gehtst jetzt so vor: Schreibe die Basen der beiden Unterräume (also insgesamt vier Stück) in eine Matrix und gehe so wie vorher vor. Da ein Vektor doppelt ist, weisst du von vornherein, dass maximal Dimension drei haben kann, eine Nullzeile ensteht sofort. Forme weiter um und du hast die Dimension von (und sogar eine Basis). Über die Formel
bekommst du die Dimension vom Schnitt. Eine Basis brauchst du ja nicht.

Zitat:
Original von Matheversteher
Edit: Zur letzten Antwort: Aber ist das nicht gehopst wie gesprungen wie ich die Zeilenstufenform mache?Oder ist das wichtig, dass ich es so mache wie du sagst?


Eigentlich stimmt das, aber das ist dann kein klassischer Gauß-Algorithmus.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

So also hab dann grad noch auf die schnelle gerechnet ist hoffentlich richtig. Habe einen dreidimensionalen Teilraum rausbekommen, da wie bene 1 Vektor doppelt vorhanden war. Habe das mal im anhang gepostet das LGS. Ich hoffe es ist soweit richtig und nun muss ich das alles nur noch in die Dimensionsformel einsetzen oder wie?

also die Formel lautet so:


So wenn ich das dann alles einsetze hab ich







Also ist meine Dimension für 1. Stimmt das so?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint alles zu stimmen. Nur eines noch:

Zitat:
Original von Matheversteher


So wenn ich das dann alles einsetze hab ich







Also ist meine Dimension für 1?










Schreib es so. Dimension einer Konstanten - was soll das sein?
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank Mr. Brightside Freude Hast mir wirklich sehr geholfen smile Ist quasi die erste Aufgabe die ich fast selber lösen konnte. Tanzen

Gruß Matheversteher
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