Stetigkeit

18.11.2009, 04:18

moxox

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Stetigkeit

Hallo

Wink

Bei den folgenden 3 Aufgaben zum Thema Stetigkeit bräuchte ich nochmals eure Hilfe ^^

1. Geben Sie an, wann eine Funktion f, deren Definitionsbereich eine Umgebung der Stelle $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$ enthält, stetig ist (an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ).

Meine Lösung:

Die Funktion f(x) heißt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x= x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in D_f \end{eqnarray*}$ genau dann stetig,
-> wenn der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ existiert, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0) \in Wertemenge_f \end{eqnarray*}$
-> der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und gleich einer bestimmten Zahl g ist
-> und wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0) = g \end{eqnarray*}$ gilt

2. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} ; \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = 2<br /> \end{eqnarray*}$

Faktorisieren ist hier ja nicht möglich.
und die 2 kann ich ja auch nicht einsetzen, wegen Wurzel x.

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} = ???<br /> \end{eqnarray*}$

3. Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \frac{3-x}{x^2+x-2} \end{eqnarray*}$

hier hab ich keinerlei Ahnung wie ich anfangen soll.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen ^^

MFG

18.11.2009, 09:34

klarsoweit

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von moxox
Die Funktion f(x) heißt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x= x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in D_f \end{eqnarray*}$ genau dann stetig,
-> wenn der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ existiert, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0) \in Wertemenge_f \end{eqnarray*}$
-> der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und gleich einer bestimmten Zahl g ist
-> und wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0) = g \end{eqnarray*}$ gilt

Also wenn x_0 zum Definitionsbereich D_f gehört, dann existiert auch f(x_0). Die Bedingungen 2 und 3 kann man zusammenfassen, so daß eigentlich nur bleibt:

Die Funktion f(x) heißt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x= x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in D_f \end{eqnarray*}$ genau dann stetig,
- wenn es eine Umgebung von x_0 gibt, die zu D_f gehört
- und wenn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und identisch mit f(x_0) ist.

Zitat:

Original von moxox
und die 2 kann ich ja auch nicht einsetzen, wegen Wurzel x.

Was stört dich die Wurzel?

Zitat:

Original von moxox
3. Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \frac{3-x}{x^2+x-2} \end{eqnarray*}$

hier hab ich keinerlei Ahnung wie ich anfangen soll.

Überlege, was gelten muß, damit ein Bruch positiv ist.

18.11.2009, 10:02

moxox

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
und die 2 kann ich ja auch nicht einsetzen, wegen Wurzel x.

Was stört dich die Wurzel?

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} ; \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2} }{2^2-3} = \frac{\sqrt{2} }{1} = \sqrt{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass f(x) an der Stelle x_0 = 2 unstetig ist, oder?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
3. Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \frac{3-x}{x^2+x-2} \end{eqnarray*}$

hier hab ich keinerlei Ahnung wie ich anfangen soll.

Überlege, was gelten muß, damit ein Bruch positiv ist.

für x Element von D_f darf man nur x im Intervall [0;3[ einsetzen, sodass f(x) > 0 ist.

18.11.2009, 10:28

klarsoweit

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von moxox
Das heißt, dass f(x) an der Stelle x_0 = 2 unstetig ist, oder?

Was ist denn f(2) ?

Zitat:

Original von moxox
für x Element von D_f darf man nur x im Intervall [0;3[ einsetzen, sodass f(x) > 0 ist.

Was ist denn f(0) ? Ich konkretisiere meine Frage:
Welche Vorzeichen müssen Zähler und Nenner haben, damit ein Bruch positiv ist?

18.11.2009, 14:28

moxox

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
Das heißt, dass f(x) an der Stelle x_0 = 2 unstetig ist, oder?

Was ist denn f(2) ?

f(2) heißt ja, dass die Funktion an der Stelle für x = 2, in diesem Fall stetig oder unstetig ist.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
für x Element von D_f darf man nur x im Intervall [0;3[ einsetzen, sodass f(x) > 0 ist.

Was ist denn f(0) ? Ich konkretisiere meine Frage:
Welche Vorzeichen müssen Zähler und Nenner haben, damit ein Bruch positiv ist?

entweder beide Vorzeichen müssen negativ sein oder beide positiv.
dort steht ja, dass die Werte x Teil der Definitionsmenge sein müssen, richtig?
also:
$\begin{eqnarray*} x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$
D= R \ {-2; 1}
-2 ist < 0, kann hier also nicht gesucht sein.
1 ist > 0, also passt und scheint auch die einzigste Lösung zu sein.

18.11.2009, 14:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
f(2) heißt ja, dass die Funktion an der Stelle für x = 2, in diesem Fall stetig oder unstetig ist.

unglücklich

f(2) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x=2. Und wie man leicht sieht, ist das Wurzel(2) und identisch mit dem Grenzwert.

Zitat:

Original von moxox
entweder beide Vorzeichen müssen negativ sein oder beide positiv.
dort steht ja, dass die Werte x Teil der Definitionsmenge sein müssen, richtig?
also:
$\begin{eqnarray*} x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$
D= R \ {-2; 1}

OK. Jetzt hast du die Definitionsmenge. Jetzt brauchen wir aber noch die Menge der x, wo f(x) > 0 ist.

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18.11.2009, 14:46

moxox

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
f(2) heißt ja, dass die Funktion an der Stelle für x = 2, in diesem Fall stetig oder unstetig ist.

unglücklich

f(2) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x=2. Und wie man leicht sieht, ist das Wurzel(2) und identisch mit dem Grenzwert.

Wurzel 2 ist der Grenzwert der Funktion.
muss ich jetzt gucken ob die beiden Grenzwerte identisch sind, wenn man dem Graphen von links und einmal von rechts nähert?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
entweder beide Vorzeichen müssen negativ sein oder beide positiv.
dort steht ja, dass die Werte x Teil der Definitionsmenge sein müssen, richtig?
also:
$\begin{eqnarray*} x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \end{eqnarray*}$
D= R \ {-2; 1}

OK. Jetzt hast du die Definitionsmenge. Jetzt brauchen wir aber noch die Menge der x, wo f(x) > 0 ist.

]0;1[ U ]0;+unendlich[ ?

18.11.2009, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
Wurzel 2 ist der Grenzwert der Funktion.
muss ich jetzt gucken ob die beiden Grenzwerte identisch sind, wenn man dem Graphen von links und einmal von rechts nähert?

Nein, du mußt schauen, ob der Grenzwert identisch mit dem Funktionswert ist.

Zitat:

Original von moxox
]0;1[ U ]0;+unendlich[ ?

Das ist das gleiche wie ]0;+unendlich[. Obendrein solltest du dir auch mal f(0,5) anschauen.

18.11.2009, 15:04

moxox

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
Wurzel 2 ist der Grenzwert der Funktion.
muss ich jetzt gucken ob die beiden Grenzwerte identisch sind, wenn man dem Graphen von links und einmal von rechts nähert?

Nein, du mußt schauen, ob der Grenzwert identisch mit dem Funktionswert ist.

Der Funktionswert ist 2, der Grenzwert Wurzel 2
also d.h. dass, die die funktion an der Stelle x_0 = 2 unstetig ist.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von moxox
]0;1[ U ]0;+unendlich[ ?

Das ist das gleiche wie ]0;+unendlich[. Obendrein solltest du dir auch mal f(0,5) anschauen.

aber in der Aufgabenstellung steht doch, dass die Werte für x im Definitionsbereich sein müssen, oder?
also kanns ja nur 1 sein, denn -2 ist kleiner als 0

18.11.2009, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
Der Funktionswert ist 2, der Grenzwert Wurzel 2
also d.h. dass, die die funktion an der Stelle x_0 = 2 unstetig ist.

Wie kommst du auf den Funktionswert 2? verwirrt

verwirrt

Ich habe als Funktionswert Wurzel(2).

Zitat:

Original von moxox
aber in der Aufgabenstellung steht doch, dass die Werte für x im Definitionsbereich sein müssen, oder?
also kanns ja nur 1 sein, denn -2 ist kleiner als 0

Also nochmal von vorn:
Gesucht sind alle x mit f(x) > 0. Richtig?
Das können ganz, ganz viele x sein. Richtig?
Unter diesen ganz, ganz vielen x müssen wir natürlich die beiden Definitionslücken ausschließen. Richtig?
Trotzdem bleiben dann noch ganz, ganz viele x übrig, wo f(x) > 0 ist. Richtig?
Und diese x mußt du jetzt finden. smile

smile

18.11.2009, 15:21

moxox

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aso,

$\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$
also alle positiven Werte außer 1.

und f(2) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x = 2.
Hattest du doch eben geschrieben verwirrt

verwirrt

Ich dachte die Wurzel (2) wäre der Grenzwert

traurig

traurig

18.11.2009, 15:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
$\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$
also alle positiven Werte außer 1.

Du verwechselst anscheinend x mit seinen Funktionswerten. Das scheint auch bei der anderen Aufgabe so zu sein. Natürlich darf f(x) auch gleich 1 sein. f(x) ist aber nicht positiv für alle x aus D_f. Zum Beispiel nicht für x=0 oder für x=1/2. Deswegen habe ich ja gefragt, welche Eigenschaften Zähler und Nenner haben müssen, wenn der Bruch positiv ist. Aus dieser Erkenntnis hast du aber noch keine Schlüsse gezogen.

Zitat:

Original von moxox
und f(2) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x = 2.
Hattest du doch eben geschrieben verwirrt

verwirrt

Ja, habe ich. Und wenn man sich f(2) anschaut, dann ist das eben Wurzel(2). Oder hast du andere Vorschläge für f(2) ?

18.11.2009, 16:11

moxox

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Ich komm gerade echt nicht weiter. unglücklich

unglücklich

Könntest du bitte die Aufgabe auflösen?

18.11.2009, 18:04

klarsoweit

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Ich sage doch ständig, daß der Grenzwert der Funktion mit seinem Funktionswert übereinstimmt. Beides mal kommt da Wurzel(2) raus. Oder bist du anderer Meinung? Damit ist die Funktion stetig.

Und bei der Aufgabe mit dem Bruch mußt du dir selber mal Gedanken machen. Die wesentlichen Hinweise habe ich gegeben.

18.11.2009, 18:28

moxox

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$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} ; \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2} }{2^2-3} = \frac{\sqrt{2} }{1} = \sqrt{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert ist doch hier $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Und der Funktionswert ist f(2)

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist doch nicht das selbe.

omg, ich stehe anscheinend gerade voll auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

18.11.2009, 18:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von moxox
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x} }{x^2-3} ; \end{eqnarray*}$

Wenn ich da für x die 2 einsetze, steht da: $\begin{eqnarray*} f(2) = \frac{\sqrt{2} }{2^2-3} = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ .

18.11.2009, 18:44

moxox

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich da für x die 2 einsetze, steht da: $\begin{eqnarray*} f(2) = \frac{\sqrt{2} }{2^2-3} = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ .

Ja genau, also

$\begin{eqnarray*} f(2) = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

so und jetzt? traurig

traurig

Ist die Funktion f(x) an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ jetzt stetig?
oder kann man das hier noch nicht wissen?
Ich dachte, wenn jetzt
z.B.

$\begin{eqnarray*} f(2) =2 \end{eqnarray*}$
rausgekommen wäre, dann wäre es stetig
aber wenn dies nicht der fall ist, ist sie unstetig

18.11.2009, 18:54

moxox

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ach, ich sehe gerade in meinem Mathebuch steht:

Die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) -> \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{+}_0 \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 19:01

moxox

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also wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einer Wurzelfunktion stetig ist, muss $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ rauskommen, richtig?

18.11.2009, 19:37

moxox

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und gib mir bitte bitte die Lösung zur 3.
ich schreib morgen die Mathe-Arbeit. Hilfe

Hilfe

Um das jetzt komplett zu verinnerlichen, hab ich keine Zeit mehr.
Ich guck mirs an und vielleicht machts ja klick Lehrer

Lehrer

^^

MFG
PS: Danke für die Hilfe.

18.11.2009, 19:45

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von moxox
Ja genau, also

$\begin{eqnarray*} f(2) = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

so und jetzt? traurig

traurig

Ist die Funktion f(x) an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ jetzt stetig?
oder kann man das hier noch nicht wissen?
Ich dachte, wenn jetzt
z.B.

$\begin{eqnarray*} f(2) =2 \end{eqnarray*}$
rausgekommen wäre, dann wäre es stetig
aber wenn dies nicht der fall ist, ist sie unstetig

Wie es schon gesagt wurde, lauten die Bedingungen für Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} f(x_0) = \lim_{x \to x_0}~f(x) = a \end{eqnarray*}$

Wenn das gilt, ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig.

Nun hier ist doch $\begin{eqnarray*} x_ 0 = 2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x_0) = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2}~\frac{\sqrt x}{x^2-3} = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Da die beiden Werte gleich sind, ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ stetig. Ob hier nun der Wert $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1944 \end{eqnarray*}$ als Ergebnis rauskommt, spielt doch keine Rolle, Hauptsache ist, dass die Werte gleich sind.

Und bitte keine 5-fach (!!) posts mehr, es gibt hier eine Funktion zum Bearbeiten von Beiträgen (Edit-Button).

18.11.2009, 20:06

moxox

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ok, danke! Wink

Wink

noch eine Frage zu der 3. Aufgabe,
also:

Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \frac{3-x}{x^2+x-2} \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge ist R \ {-2; 1}

Wie ist die Lösung?

18.11.2009, 20:34

Q-fLaDeN

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Ein Bruch ist genau dann positiv, wenn entweder Zähler und Nenner größer 0 sind oder Zähler und Nenner kleiner 0 sind.

18.11.2009, 20:39

moxox

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ein Bruch ist genau dann positiv, wenn entweder Zähler und Nenner größer 0 sind oder Zähler und Nenner kleiner 0 sind.

ok ^^ , aber ist das denn schon die Lösung?
Ich denke man sollte eine Lösungsmenge hinschreiben oder?
wenn ja, wie sieht diese aus?

18.11.2009, 21:07

Q-fLaDeN

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Nein natürlich ist das nicht die Lösung. Wir geben hier aber nur Lösungsansätze, die eigentliche Arbeit soll der/die ThreaderstellerIn schon selbst erledigen. Siehe hier:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

18.11.2009, 22:00

moxox

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ich schreib morgen eine Mathearbeit und habe nicht mehr genügend Zeit das ganze jetzt zu 100% zu verstehen. Tränen

Tränen

wenn ich die Lösung sehe, werde ich mit Sicherheit mehr wissen als vorher ...
Bei Unklarheiten kann ich ja immer noch nachfragen. Lehrer

Lehrer

also bitte bitte gib mir die Lösung dieser Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

18.11.2009, 22:08

klarsoweit

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Du wirst sicherlich in der Lage sein, die Ungleichungen:

Zähler > 0 und Nenner > 0

und

Zähler < 0 und Nenner < 0

hinzuschreiben. Für Zähler und Nenner schreibst du die Polynome rein, die du da in dem Bruch findest. Das Lösen der Ungleichungen mußt du dann selber machen.

18.11.2009, 22:11

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst noch so oft um die Lösung betteln, ich werde sie dir nicht verraten. Die Zeit, die du jetzt damit vergeudet hast, diese Einträge zu schreiben und nach einem Lösungsweg zu betteln, hättest du besser in die Aufgabe investieren sollen, denn dann wärst du längst fertig.

Ansonsten siehe klarsoweit.

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