Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

18.11.2009, 16:16

estrella28

Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Hallo

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Überprüfen Sie die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ auf Kovergenz und bestimmen sie ggF. den Grenzwert.

1. $\begin{eqnarray*} a_n= \frac {n-1}{n+1} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a_n= \frac {n!}{n^n} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} a_n= \frac {3n^3-\sqrt {n}}{2n^3+\sqrt{n^5}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie ich auf Konvegenz prüfe!!! bzw. wie ich dann denn Grenzwert berechne!!

LG
estrella28

18.11.2009, 16:35

Lord Pünktchen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Bei 1) zeigst du für die Konvergenz einfach, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorherige. Also eine einfache Ungleichung. Dann zeigst du, dass jedes Folgenglied kleiner ist als 1.

Für den Grenswert würd ich entweder den Bruch zerlegen und die Grenzwertsätze verwenden oder das epsilon-Kriterium bemühen.

Bei 2) zeigst du für die Konvergenz einfach, dass jedes Folgenglied kleiner ist als das vorherige. Dann zeigst du, dass jedes Folgenglied größer ist als 0.

Für den Grenzwert würde ich die Grenzertsatz für die Multiplikation verwenden nachdem du eine geeignete Abschätzung für n/n, (n-1)/n, ... , 1/n gefunden hast.

Bei 3) ... fällt mir im Moment nichts sinnvolleres als das epsilon-kriterium ein oder eine Zerlegung des Bruches.

18.11.2009, 16:46

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Zitat:

Original von Lord Pünktchen
Bei 1) zeigst du für die Konvergenz einfach, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorherige. Also eine einfache Ungleichung. Dann zeigst du, dass jedes Folgenglied kleiner ist als 1.

Für den Grenswert würd ich entweder den Bruch zerlegen und die Grenzwertsätze verwenden oder das epsilon-Kriterium bemühen.

Bei 2) zeigst du für die Konvergenz einfach, dass jedes Folgenglied kleiner ist als das vorherige. Dann zeigst du, dass jedes Folgenglied größer ist als 0.

Für den Grenzwert würde ich die Grenzertsatz für die Multiplikation verwenden nachdem du eine geeignete Abschätzung für n/n, (n-1)/n, ... , 1/n gefunden hast.

Bei 3) ... fällt mir im Moment nichts sinnvolleres als das epsilon-kriterium ein oder eine Zerlegung des Bruches.

aber das verstehe ich ja genau nicht, ich habe einfach kein Beispiel, wie man konvergenz zeigt!! Wie beweise ich, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorherige??? warum reicht bei 1 das , was du geschrieben hast aus? Und warum 1???? Wie bemühe ich das epsilon Kriterium???

18.11.2009, 17:42

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Ist der Grenzwert von 1) "1"???

18.11.2009, 18:01

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Hallo

Ich habe echt keine Ahnung, kann mir jemand vielleich an 1 zeigen wie man generell Konvergenz beweist.

Das wäre echt nett!!!

18.11.2009, 18:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Für den Nachweis der Konvergenz gibt es kein generelles Patentrezept. Es hängt vom Einzelfall und auch von der Aufgabenstellung ab. Wird beispielsweise erwartet, daß du das epsilon-Kriterium verwendest? Darfst du Grenzwertsätze verwenden? Kennst du einfache Grenzwerte wie den Grenzwert der Folge a_n = 1/n ?

Grundsätzlich: du bist hier im Hochschulbereich. Da wird eine gewisse Eigenständigkeit und ein Mindestmaß an Mitarbeit erwartet. Einfach sagen "Leute macht mal für mich", funktioniert nicht. Siehe auch:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

Übrigens: mit dem Grenzwert 1 bei der ersten Aufgabe liegst du richtig.

18.11.2009, 21:32

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Hallo

Erstmal: Ich wollte nicht, dass mir die Aufgabe komplett vorgerechnet wird. Ich brauche nur ein Beispiel, muss auch nicht von dieser Aufgabe sein. Ich habe nämlich keine idee wie ich generell daran zu gehen habe.

Zudem ist in dem Fall die Aufgabenstellung, so wie ich es oben geschrieben habe.

Meine Idee ist es nun, um die Konvergenz zu zeigen, dass man zeigt, dass die folge monoton und beschränkt ist. Mein Problem hier ist nun aber, dass ich da nicht genau weiß, wie ich das machen soll. Auch hier bräuchte ich nur ein Beispiel.
Auch ist mir nicht klar, wie ich das mit dem epsilion Kriterium machen soll.
Für 1 habe ich nun folgendes:

Beh.: Grenzwert ist 1

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{2}{\varepsilon} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{n-1}{n+1} -1 | = |\frac{-2}{n+1}| = \frac{2}{n+1} \leq \frac{2}{n_0+1} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so???

18.11.2009, 22:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Zitat:

Original von estrella28
Ich habe nämlich keine idee wie ich generell daran zu gehen habe.

Wir auch nicht, wenn wir nicht wissen, was wir verwenden dürfen.

Zitat:

Original von estrella28
Zudem ist in dem Fall die Aufgabenstellung, so wie ich es oben geschrieben habe.

Das ist schön, aber wir wissen nicht, was bei dir vorher alles gelaufen ist und was wir somit verwenden dürfen. Um irgendwelchen Mißverständnissen vorzubeugen: wir sind keine Hellseher.

Zitat:

Original von estrella28
Ist das richtig so???

Für einen Beweis mit dem epsilon-Kriterium ist das ok. Man könnte aber auch in $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n+1} \end{eqnarray*}$ durch n kürzen und Grenzwertsätze verwenden. Aber leider äußerst du dich nicht, ob das möglich ist.

19.11.2009, 20:23

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Also, wir haben bis jetzt das mit den Grenzwertsätzen gemacht, sowie beschränktheit und monotonie von folgen, auch das verdichtungslemma von cauchy.

Ich habe jetzt 1. und 3. hinbekommen, nur bei 2. komme ich nicht weiter, konvergiert das überhaupt? Ich bin der Meinung, dass es divergent ist, aber wie zeige ich das???

19.11.2009, 22:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Für 2. könntest du zeigen, daß $\begin{eqnarray*} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist.

22.11.2009, 11:22

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert
Hallo

Ich habe jetzt zu allen 3 den Grenzwert berechnet, bei 1. und 3. habe ich nachgewiesen, dass es gegen diesen Grenzwert konvergiert mithilfe des epsilonkriteriums.
Meine Frage: Reicht das aus, um die Aufgabe zu lösen für 1. und 3.???
Bei 2. habe ich noch schwierigkeiten, das mit dem epsilonkriterium nachzuweisen:
ich finde kein geeignetes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ !

Bin für jede Hilfe dankbar!

22.11.2009, 13:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Zitat:

Original von estrella28
Ich habe jetzt zu allen 3 den Grenzwert berechnet, bei 1. und 3. habe ich nachgewiesen, dass es gegen diesen Grenzwert konvergiert mithilfe des epsilonkriteriums.
Meine Frage: Reicht das aus, um die Aufgabe zu lösen für 1. und 3.???

Ja, wenn du das richtig gemacht hast. Augenzwinkern

Zitat:

Original von estrella28
Bei 2. habe ich noch schwierigkeiten, das mit dem epsilonkriterium nachzuweisen:
ich finde kein geeignetes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ !

Dazu hatte ich dir einen Tipp gegeben. Welchen Grenzwert hat denn die Folge?

23.11.2009, 20:11

Kuchenman

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Für 2. könntest du zeigen, daß $\begin{eqnarray*} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Kann man 2 so beweisen:

$\begin{eqnarray*} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*3*4*...*n \leq n*...*n \end{eqnarray*}$

und beide Seiten haben n-Stellen

?

Würde mcih über Antworten freuen smile

24.11.2009, 08:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Zitat:

Original von Kuchenman
und beide Seiten haben n-Stellen

Falls du Faktoren meinst, dann sind auf beiden Seiten n-1 Stück. smile

Da ich kein Freund von Pünktchenbeweisen bin, würde ich eine vollständige Induktion bevorzugen.

Neue Frage »

Antworten »

Folge, Prüfung von Konvergenz, Grenzwert

Verwandte Themen