Abelsche Gruppe

18.11.2009, 18:04

sin(x²)= 99

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Abelsche Gruppe

Sei G eine Gruppe mit einer der folgenden Eigenschaften:

a*a = e

Zeigen Sie, dass in diesem Fall G jeweils abelsch ist.
(e bezeichnet das neutrale Element von G).

Diese Aufgabe ist eigentlich einfach aber ich möchte nichts falsches sagen:

Wenn man hier a mit a vertauscht und sagt

a*a = e = a*a = e

hat man damit schon gezeigt, dass G abelsch ist??

18.11.2009, 18:08

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
nein, hat man nicht.....
du musst die abgeschlossenheit einer gruppe nutzen, wenn a,b in der gruppe liegen, so auch a*b.
dann führst du einen widerspruch herbei indem du annimmst, G sei nicht abelsch, auf was führt dich das?

18.11.2009, 18:15

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
Wenn (a,b) nicht in der Gruppe liegen, so liegt auch a*b nicht in der Gruppe

18.11.2009, 18:17

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
nein, wenn a,b in G sind, so auch das produkt a*b.
was ist dann $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 18:19

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
(a*b)² = (a*b) * (a*b)

sorry ich versteh nicht worauf du hinaus willst,

Abelsch heißt doch dass:

a verknüpft b = b verknüpft a

18.11.2009, 18:20

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
dann ist $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2}=e \end{eqnarray*}$ oder nicht..........

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18.11.2009, 18:21

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
jetzt nimm mal an, G sei nicht abelsch, dann gibt es a,b in G mit..........

18.11.2009, 18:34

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
also ich weiß zb dass e = 1 sein muss ! somit ist meine Gruppe G = G(1,*)

und was genau ist hier jetzt kommunativ?

18.11.2009, 18:45

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von sin(x²)= 99
also ich weiß zb dass e = 1 sein muss ! somit ist meine Gruppe G = G(1,*)

hä?
willst du damit sagen, dass G von 1 erzeugt wird?
das ist unfug, die vorraussetzung ist doch, dass G ausser e nur elemente der Ordnung zwei enthält, nicht das G zyklisch ist und von 1 erzegt wird......
und zum zweiten, warum muss e=1 sein?
nimm mal die Gruppe der Matrizen, da ist das neutrale element doch nicht die 1, oder eine Gruppe von funktionen mit der verknüpfung
f*g=g(f), da ist das neutrale element auch nicht die 1;
aber zurück zum thema
was gilt denn in nicht abelschen gruppen?
ist da a*b=b*a?
wohl eher nicht.....
denn wenn das gälte wären sie abelsch;
also ist G nicht abelsch, so existieren a,b in G dass gilt:
$\begin{eqnarray*} a*b \neq b*a \end{eqnarray*}$
und jetzt mal nen bisschen selber denken, wie kann man daraus einen widerspruch erzeugen?
tipp: man muss noch was hinzumultiplizieren

18.11.2009, 18:49

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
also es handelt sich ja hier um eine multiplikation von zwei reelen Zahlen, somit kann man ja sagen dass das neutrale Element e = 1 ist! Funktionen und Matrizen gibts hier gar nicht in der Aufgabe.

Bsp: 4*1 = 1*4 = 4

Wie wärs wenn wir beide Seiten mit -1 mulitiplizieren?

18.11.2009, 18:55

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von sin(x²)= 99
also es handelt sich ja hier um eine multiplikation von zwei reelen Zahlen

woher weisst du das?
deine aufgabe lautet, sei G eine Gruppe mit a*a=e, zeige das G abelsch ist, steht nichts von reellen Zahlen........
a sind irgendwelche elemente in G, denn dieser zusammenhang, und das sollst du zeigen, gilt für jede gruppe......
wenn deine zahlen reell sind und deine multiplikation der multiplikation im Körper der reellen zahlen entspricht ist nichts zu zeigen, denn R ist ein vollständig angeordneter Körper und da gilt das kommutativgestz....
also, jetzt mal nen bisschen konzentration bitte...

18.11.2009, 18:58

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
ok du hast recht, da steht nichts von reelen zahlen !

wir wollten einen widerspruch führen, was wäre wenn wir beide seiten mit -1 multiplizieren?

18.11.2009, 19:02

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
beide seiten multiplizieren ist gut, aber von welcher seite, achte darauf, dass wir das kommutativgesetz nicht benutzen dürfen, mit -1 zu multiplizieren ist blödsinn.
ich zeig dir mal den ersten schritt:
$\begin{eqnarray*} a*b \neq b*a \end{eqnarray*}$ , da G nicht abelsch ist. multiplikation von rechts mit b führt zu $\begin{eqnarray*} a*b*b \neq b*a*b \end{eqnarray*}$
jetz versuchs mal, ich habe dir ja jetzt schon fast die lösung vorgekaut....

18.11.2009, 19:15

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
$\begin{eqnarray*} a*b*b \neq b*a*b = a*b^{2} \neq a*b^{2} \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 19:24

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
stimmt, bringt dich aber jetzt noch nicht viel weiter, du musst schon noch mal was hinzumultiplizieren, bedenke, hierbei, dass $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2}=e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^{2}=b^{2}=e \end{eqnarray*}$ ist.

18.11.2009, 19:27

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
$\begin{eqnarray*} *a \end{eqnarray*}$

18.11.2009, 19:29

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
du wirst ja immer gesprächiger, *a ist richtig, von welcher seite?

18.11.2009, 19:30

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
hehe gesprächiger ja^^ na von der rechten seite

18.11.2009, 19:46

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
multipliziere a von der linken Seite, dann erhälst du
$\begin{eqnarray*} a*a*b*b \neq a*b*a*b \end{eqnarray*}$
erkennst du den widerspruch?

18.11.2009, 19:47

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
den widerspruch haben wir doch viel früher schon entdeckt

18.11.2009, 19:48

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
ja und wann?

18.11.2009, 19:51

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von sin(x²)= 99
$\begin{eqnarray*} a*b*b \neq b*a*b = a*b^{2} \neq a*b^{2} \end{eqnarray*}$

da habe ich dir fälschlicherweise zugestimmt, wollte ich eigentlcih wegeditieren, sorry, vergessen, denn du hast das kommutativgesetz genutzt und das darfst du nicht.....

18.11.2009, 19:52

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
$\begin{eqnarray*} a*b*b\neq b*a*b = a*b^{2} \neq a*b^{2} \end{eqnarray*}$

auf der rechten Seite der Gleichung ist offensichtlich ein Widerspruch !

achso ok na dann hast du recht...also dann ist der letzte ausdruck von dir ein Widerspruch

18.11.2009, 19:57

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
richtig, aber warum?
wir sammeln noch mal, was wir haben:
wenn G nicht abelsch ist, so existieren a,b in G mit i) $\begin{eqnarray*} a*b \neq b*a \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a,b \in G \Rightarrow a*b \in G \end{eqnarray*}$
und daraus $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2}=e \end{eqnarray*}$
nun nehmen wir an, G ist nicht abelsch;
multiplikation von rechts mit b in i) ergibt:
$\begin{eqnarray*} a*b*b \neq b*a*b \end{eqnarray*}$
nun ergibt multiplikation von links mit a:
$\begin{eqnarray*} a*a*b*b \neq a*b*a*b \end{eqnarray*}$
nun wende die vorraussetzung an

18.11.2009, 20:02

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
Voraussetzung für eine abelsche Gruppe ist:

a*b = b*a für alle a,b e G

Du hast mir ja gezeigt, dass man ohne Kommunativität zu benutzen, das wenn es sich um keine abelsche Gruppe handelt;dieses sich als falsch aufweist, dass das zu einem Widerspruch führt.

Richtig? Gott

Gott

18.11.2009, 20:11

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
aber warum ist das, was ich geschrieben habe ein widerspruch?
versteh mich nicht falsch, ich will hier nicht alles mögliche aus dir rausquetschen, aber ich möchte jetzt, nachdem ich mir die mühe gemacht habe sehen, dass du wirklich verstanden hast, warum $\begin{eqnarray*} a*a*b*b \neq a*b*a*b \end{eqnarray*}$ einen widerspruch erzeugt....

18.11.2009, 20:19

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
ich würde jetzt ganz einfach spontan sagen, weil auf beiden Seite der gleiche Wert steht !

18.11.2009, 20:20

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
und welcher?

18.11.2009, 20:22

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
a^2 * b^2

18.11.2009, 20:23

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
neeee, dann wäre das ja schon wieder das kommutativgesetz......

18.11.2009, 20:26

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
und was steht auf der linken Seite??

18.11.2009, 20:34

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
rechts steht $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2} \end{eqnarray*}$
links steht $\begin{eqnarray*} a^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$
was ist denn $\begin{eqnarray*} a^{2}, b^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a*b)^{2} \end{eqnarray*}$
P.S.:für die zukunft, es ist voll wichtig, dass du so einfache beweise in der lage bist selbsständig zu führen, so ein beweis ist einfach und gab, als ich damals in Algebra einen ähnlichen führen musste gerade einmal 4 von 40 punkten;
das ist furchtbar elementar und kann in drei zeilen geführt werden.

18.11.2009, 21:58

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
ich habe gerade mal so im forum nen bisschen herumgetrieben und gesehen, dass du dich an mindestens drei aufgaben zeitgleich beteiligst.
versteh das bitte nicht falsch, ich will auch nicht moderieren oder dich belehren, aber du solltest deine aufmerksamkeit meines erachtens erst mal auf eine aufgabe, die du nicht lösen kannst beschränken;
es macht wenig sinn, sich an allem zu versuchen, wenn man offenkundig die einfachsten zusammenhänge der gruppentheorie nicht auf dem schirm hat. erst einmal gruppentheorie nen bisschen erlernen und dann aufgaben lösen und die
aufgaben, die ich bisher gelesen habe sind alle einfach, es wird im laufe der auseinandersetzung mit der Algebra nur noch schwerer, wenn du das nicht kannst, wirst du algebraische strukturen oder, was mir besonders viel spass macht, algebraische geometrie niemals verstehen.

18.11.2009, 22:13

sin(x²)= 99

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RE: Abelsche Gruppe
es tut mir leid, ich will halt vieles lernen und deswegen bin ich in vielen foren unterwegs... unglücklich

unglücklich

18.11.2009, 22:21

lgrizu

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RE: Abelsche Gruppe
du musst dich nicht entschuldigen, ich habe lediglich geäussert, wie ich darüber denke, kannst das ja machen wie du willst.......
ich fand es nur einfacher, vielleicht nicht alle hausaufgaben zu machen sondern nur einige, die dafür aber richtig, so dass ich wirklich verstanden habe, was ich gemacht habe.

27.11.2011, 20:42

Huulloo

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Re
Entschuldigung, aber wo ist denn in dieser Gruppe:

$\begin{eqnarray*} (a*b)^{2}=e \end{eqnarray*}$

definiert?

[edit: Hat sich erledigt... Big Laugh

Big Laugh

]

18.09.2012, 20:36

Mathek

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RE: Re
definier mal a*b=: x dann steht dort x*x und das ist offensichtlich gleich 1 (nach voraussetztung + Assoziativgesetz).

übrigends wäre es so etwas einfacher:

(a*b)*(a*b)=e
=> (a*b)*(a*b)*(b*a)=b*a (einfach von recht mit b*a multipliziert)
=> (a*b)*a*(b*b)*a=b*a
=> (a*b)*(a*e*a)=b*a
.
.
.
.
=>a*b=b*a

die fehlenden Schritte müssen noch ergenzt werden.

18.09.2012, 21:51

lgrizu

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RE: Re
Eine Antwort in einen ein Jahr alten Thread..... unglücklich

unglücklich

18.09.2012, 22:28

jester.

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Und diese längliche Folgerungskette würde ich nun auch nicht unbedingt als optimale Beweisvariante ansehen, dann doch eher die einfache Gleichung
$\begin{eqnarray*} ab=a(abab)b=(aa)ba(bb)=ba \end{eqnarray*}$

19.09.2012, 15:19

Mystic

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Nur der Vollständigkeit halber: Eine Möglichkeit (und vielleicht eine gar nicht so schlechte, weil man dabei ohne jede "Trickserei" auskommt) wäre noch

$\begin{eqnarray*} ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba \end{eqnarray*}$

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