Grenzwert einer Reihe

18.11.2009, 22:14

Snoopiegirl

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Grenzwert einer Reihe

Hallo
hab eine neue Hausaufgabe in Mathe auf und bräuchte dazu mal eure Hilfe.
Also die Aufgabe lautet wie folgt:

Zitat:

6.) Untersuchen Sie diese Reihe hinsichtlich Konvergenz und schätzen Sie den Grenzwert durch eine obere bzw. untere Schranke ab. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

mit Hilfe des Quotientenkriteriums habe ich schon nachgewiesen, dass die Reihe konvergent ist. Jedoch werd ich nicht schlau aus den büchern, wie ich dann die schranken bestimme bzw. den Grenzwert. Durch einfaches Rechnen, weiß ich bereits, dass der Grenzwert e sein muss.

Hoffe jemand kann mir dabei helfen.

18.11.2009, 22:22

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Daß 2 eine untere Schranke ist, ist leicht einzusehen. Und mit etwas Rechnerei kann man auch zeigen, daß 3 eine obere Schranke ist.

18.11.2009, 22:24

Snoopiegirl

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wieso ist 2 eine untere schranke und wie mach ich das mit dem rechnen?

18.11.2009, 22:34

MLRS

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^1\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}=2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}>\sum_{n=0}^1\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

19.11.2009, 07:26

Snoopiegirl

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wenn sie nicht beschränkt ist warum bekomm ich dann, wenn ich das in excel mit werten ausrechne, einen wert raus der gegen e läuft?

und ist deswegen 2 die untere schranke, weil sich das 1. reihenglied aus der summe der ersten beiden zahlen zusammen setzt?

19.11.2009, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Snoopiegirl
wenn sie nicht beschränkt ist warum bekomm ich dann, wenn ich das in excel mit werten ausrechne, einen wert raus der gegen e läuft?

Niemand hat behauptet, daß die Reihe nicht beschränkt ist. Und ich habe dir sogar mögliche untere und obere Schranken angegeben. Für die Abschätzung der oberen Schranke kannst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \leq n! \end{eqnarray*}$ für n >= 1 verwenden.

Zitat:

Original von Snoopiegirl
und ist deswegen 2 die untere schranke, weil sich das 1. reihenglied aus der summe der ersten beiden zahlen zusammen setzt?

Etwas komisch formuliert. Der Wert der Reihe ist größer als die Summe aus den beiden ersten Summanden. Man hätte auch Null als untere Schranke nehmen können. Das ist sofort klar, da die Reihe nur aus positiven Summanden besteht.

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19.11.2009, 08:39

Snoopiegirl

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hab grad selber gemerkt, dass das mit der beschrankung als signatur bei
MLRS steht also mein fehler

ich kann die untere schranke also auch bei o legen, da, wie du ja grad gesagt hast alle Glieder der reihe positiv sind.

werd das mit der oberen schranke mal durch rechnen und mein ergebnis posten.

19.11.2009, 09:06

soso

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Wie kommt man denn auf die $\begin{eqnarray*} e^{n-1} \end{eqnarray*}$ als Formel für die Abschätzung der oberen Schranke? Wieso kann man nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(n-1\right)!} \end{eqnarray*}$ benutzen um die obere Schranke herauszufinden?

19.11.2009, 09:13

AD

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Zitat:

Original von soso
Wie kommt man denn auf die $\begin{eqnarray*} e^{n-1} \end{eqnarray*}$ als Formel für die Abschätzung der oberen Schranke?

Wer kommt darauf? Und was soll in dem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein? Bitte nicht solche völlig absurd losgelösten Fragen stellen. unglücklich

unglücklich

19.11.2009, 09:15

Snoopiegirl

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soso meinte anstatt $\begin{eqnarray*} e^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$
er hat sich nur verschrieben

19.11.2009, 09:22

AD

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Schwer zu erkennen, da auch nirgendwo von einer Schranke $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ für die Reihe die Rede ist. klarsoweit hat lediglich erwähnt, dass man die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \leq n! \end{eqnarray*}$ zur Ermittlung einer oberen Schranke heranziehen kann - das ist doch was völlig anderes. Leute, lest doch mal ordentlich, bevor ihr solche schaurigen Fehlinterpretationen darbietet! unglücklich

unglücklich

19.11.2009, 09:47

Snoopiegirl

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aber was mich interessiert, wie ist er auf diese abschätzung gekommen? er muss doch dafür eine grundlage gehabt haben oder täusche ich mich da?

19.11.2009, 09:49

klarsoweit

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Da stecken 30 Jahre mathematische Erfahrung hinter. Big Laugh

Big Laugh

Also betrachte mal $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ und schätze die Summe mit der angegeben Ungleichung nach oben ab.

19.11.2009, 10:07

Snoopiegirl

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also kann ich doch dafür auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{n!}\geq \sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{2^{n-1} } \end{eqnarray*}$

und das dann auf den grenzwert untersuchen und müsste doch damit eigentlich meine obere schranke dann haben oder hab ich da jetzt nen denkfehlrt drin?

19.11.2009, 10:31

AD

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Auwei, immer wieder diese Unkonzentriertheiten: Aus $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \leq n! \end{eqnarray*}$ folgt NICHT $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-1}} \geq \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ , das Relationszeichen dreht sich schließlich um beim Reziprokbilden einer Ungleichung, auf deren beiden Seiten positive Zahlen stehen! Und es wurde ja auch mehrfach deutlich gesagt, dass es um eine Abschätzung nach oben geht, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{n!}\leq \sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{2^{n-1} } \end{eqnarray*}$ .

Das rechts ist eine bekanntermaßen konvergente geometrische Reihe, deren Wert du ausrechnen können solltest.

19.11.2009, 11:01

Snoopiegirl

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hab mich im formeleditor verklickt beim relationszeichen sorry.
ansonsten hab ich ja dann keinen denkfehler in meiner überlegen *abgesehn von dem verklicken*

22.11.2009, 18:19

birne09

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Schön das hier noch andere Studenten von der HSNR sind.

Für die Betrachtung der oberen Schranke,

folglich e <= 2.

Kommt mir etwas fraglich vor.

22.11.2009, 18:27

AD

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Richtig rechnen: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = 4 \end{eqnarray*}$ smile

smile

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