System mit ggT und kgV

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Alita Auf diesen Beitrag antworten »
System mit ggT und kgV
Hallo,

folgende Aufgabe:

"Gib eine notwendige und hinreichende Bedingung für m und d an, so dass das folgende System lösbar ist:




Meine Überlegung ist, dass der ggT sinnvollerweise ein Teiler des kgV sein muss. Diese offenbar notwendige Bedingung ist aber gleichzeitig auch hinreichend, denn mit x=d und y=m hätte man ja schon eine Lösung.
Das ist mir aber doch etwas zu simpel, kann mir jemand sagen, ob ich hier etwas übersehe? Von Eindeutigkeit oder so ist ja keine Rede.

Die Aufgabe hat auch einen ersten Teil, bei dem konkret d=18 und m=540 ist. Dafür gibt es auch eine ganze Reihe von Lösungen...

Alita
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alita
Das ist mir aber doch etwas zu simpel, kann mir jemand sagen, ob ich hier etwas übersehe?

Nein, ist völlig Ok. Freude
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich annehme, dass der Zahlenbereich und nicht nur ist, muss man ähnlich wie in der Linearen Optimierung auch noch die Nichtnegativitätsbedingungen für d und m dazunehmen...

Es wäre im Sinne der Aufgabenstellung auch schön, wenn du im Falle des Erfülltseins von



die Lösungen des Gleichungssystems möglichst allgemein beschreiben könntest...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest bis jetzt lese ich nur etwas von Lösbarkeit, nicht von Bestimmen aller Lösungen. Zugegeben klingt der letzte Abschnitt etwas nach letzterem, dazu sollte sich Alita noch mal etwas klarer äußern.
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Eine allgemeine Lösung wird nicht verlangt, der erste Teil lautet nur "Löse das System ggT(x,y)=18 und kgV(x,y)=540." der zweite verlangt dann nach einer "Bedingung [...], so dass das System lösbar ist."
Ob als Zahlenberech oder gemeint ist, geht aus der Aufgabe leider nicht hervor, also sollte ich wohl besser von ausgehen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich hoffe doch stark, dass du dir in Verbindung mit dem ersten Teil der Aufgabe schon ganz allgemein überlegt hast, welche Beziehung für die ganzen Zahlen u,v in x=18u und y=18v genau gelten muss, damit gilt ggT(x,y)=18 und kgV(x,y)=540... Um ehrlich zu sein, könnte ich mir eine Lösung dieses Teils der Aufgabe gar nicht anders vorstellen oder hast du am Ende nur "wild herumprobiert"?
 
 
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Wild herumprobiert habe ich natürlich nicht.

Bekannter Weise gilt
Darum ist
Wegen und mit gilt .
Also .
Nun habe ich mit schlicht alle Möglichkeiten, diese Faktoren auf u und v aufzuteilen (eingeschlossen den Fall, dass oder gilt), zusammengestellt.

Hierbei bin ich von als Zahlenbereich ausgegangen, da in allen anderen Aufgaben meines Übunszettels genau das der Fall war, ich werde die negativen Fälle aber entsprechend ergänzen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, u und v müssen teilerfremd sein und für ihr Produkt gilt



Leider ist in diesem Beispiel 30, also der Quotient m/d, quadratfrei, was die richtige Wahl der u und v sehr vereinfacht, da man für u einen beliebigen Teiler von 30 wählen kann, wodurch v dann schon bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt ist... Trotzdem ist auch der allgemeinere Fall, wo m/d nicht quadratfrei ist, nicht um soviel schwieriger...
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