Rang einer Matrix bestimmen

19.11.2009, 13:44	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix bestimmen Hallo ihr Lieben, ich verzweifle an folgender Aufgabe: Seien A eine nxn Matrix mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ die Spalten von A. Setze S:={ $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ \|i $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {1,...,n}}. Beweisen Sie, dass der rang (S)=n genau dann, wenn für jedes b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ein x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ existiert, so dass gilt: Ax = b Hilfe dringend benötigt :/
19.11.2009, 13:48	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die Aufgabe richtig aufgeschrieben? Ich denke, es müsste heissen "wenn für jedes b $\begin{eqnarray} \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ genau ein x $\begin{eqnarray} \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ existiert." Oder liege ich falsch?
19.11.2009, 13:53	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also auf meinem Übungsblatt steht ein und nicht genau ein....
19.11.2009, 18:41	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bin ich auch ein wenig überfragt, wenn da genau ein stünde, wäre es so schön einfach und schnell gegangen ...
19.11.2009, 18:42	Jackelbombi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was müsste man denn dann da machen?
19.11.2009, 18:46	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Mr. Brightside kann ich nicht verstehen. Es ist doch viel einfacher zu zeigen dass es ein x gibt anstatt zu zeigen dass es genau eines gibt. Zeigt man genau eines so zeigt man insbesondere dass es eines gibt Naja die Aufgabe erfordert eigentlich nur das Verständnis von der Matrizenmultiplikation und des Rangbegriffs.
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19.11.2009, 18:56	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es genau eins gibt, dann könnte man doch einfach über die Inverse gehen ... Und hätte sofort alles. Oder nicht? Aber ist ja auch egal, wenn es nicht so in der Aufgabe steht ...
26.11.2009, 10:55	Stella89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab da mal noch nen andere Frage zu dem Thema: Ich hab hier die Frage "Warum muss det (B) = 0 sein?" , mit dem Tipp, dass ich den Rang betrachten soll. So erste Frage: Bereche ich den Rang bei einer Matrix mit komplexen Elementen genauso wie bei einer ohne?^^ Zweite: Was sagt der Rang über die Determinante aus? Die Matrix B ist (4) (4+i) (3) (-4+i) ( -1) (1+5i) (3) (3+10i) (i) Kleine Anmerkung am Rande: Wenn ihr mit dieser Matrix auf keine logische Erklärung kommt, habe ich sie wahrscheinlich falsch berechnet. Lasst es misch bitte wissen, falls es so ist. Vielen Dank schon mal an alle die helfen!!
26.11.2009, 13:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, wenn der Rang einer Matrix kleiner als die Anzahl der Zeilen / Spalten ist, dann ist die Determinante gleich Null. Und umgekehrt. Dazu muss die Matrix natürlich quadratisch sein. Rangberechnung läuft im Komplexen genauso wie im Reellen, Zeilenstufenform muss herzustellen sein.

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