Äquivalenzrelationen beweisen

19.11.2009, 13:52

Jackelbombi

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Äquivalenzrelationen beweisen

Hallihallo zusammen,
es geht um die Aufgabe:

Welche der folgenden Relationen R sind Äquivalenzrelationen?Beweisen Sie ihre Behauptung!

Ich schreibe jetzt mal nur eine Aufgabe hin, insgesamt sind es 5, aber ich denke, wenn ich einen Lösungsweg verstehe sollte der Rest kein Problem mehr sein:

Sei X:= $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ , die Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Definiere die Relation R durch (P,Q) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R genau dann, wenn ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von P und Q ist.

Um eine Äquivalenzrelation zu beweisen, muss man ja die drei Kriterien Überprüfen:
1)Reflexivität
2)Symmetrie und
3)Transitivität

Ich weiß jedoch nicht, wie ich das machen soll..so allgemein halt...?_?

19.11.2009, 14:23

Mazze

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Zitat:

Ich weiß jedoch nicht, wie ich das machen soll..so allgemein halt...?_?

Als erstes solltest Du aufschreiben was

1)Reflexivität
2)Symmetrie
3)Transitivität

für deine Relation bedeuten. Aber Du hast Dir ein denkbar schlechtes Beispiel ausgesucht, denn diese Relation ist keine Äquivalenzrelation. Die Reflexivität ist verletzt, es muss nämlich gelten :

$\begin{eqnarray*} \forall p \in \mathbb{R}[x] : (p,p) \in R \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} p(x) = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es kein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von p ist. Damit ist also $\begin{eqnarray*} (p,p) \notin R \end{eqnarray*}$ und damit R keine Äquivalenzrelation.

19.11.2009, 14:31

Jackelbombi

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Hallo Mazze,
ja dann ist es echt ein schlechtes Beispiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kann ja auch noch eins posten...

Sei X:={2x2 Matrizenmit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ } und (A,B) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ C,D $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ , so dass gilt

AC = B
A= BD.

Hoffe, dass ist diesmal ein Beispiel was klappt? verwirrt

verwirrt

Aber auf jeden Fall schonmal ein riesen Dankeschön, für die andere Aufgabe. Die habe ich jetzt zumindest verstanden Tanzen

Tanzen

19.11.2009, 14:46

Mazze

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Latex ist in erster Linie nicht dazu gedacht um einzelne Zeichen in Text einzufügen sondern ganze Formeln in die Umgebung zu packen. Also

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ C,D $\begin{eqnarray*} \in X \end{eqnarray*}$ würde man eher so schreiben :

$\begin{eqnarray*} \exists C,D \in X \end{eqnarray*}$ , sieht doch schon viel besser aus.

Symmetrie und Reflexivität sind klar. Schreibs mal auf. Für die Transitivität musst Du dir ein wenig mehr überlegen. Aus

$\begin{eqnarray*} AC = B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = BD \end{eqnarray*}$ folgt durch einsetzen $\begin{eqnarray*} BDC = B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = ACD \end{eqnarray*}$ . Also insbesondere $\begin{eqnarray*} DC = I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CD = I \end{eqnarray*}$ . Damit folgt schon das C und D invertierbar sind und $\begin{eqnarray*} C = D^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt. Damit kannst Du dann die Transitivität zeigen. Sei dazu

$\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \text{ und } (B,C) \in R \end{eqnarray*}$

dann gibt es nach Definition Matrizen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,X_3,X_4 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} AX_1 = B ; BX_2 = A, BX_3 = C, CX_4 = B \end{eqnarray*}$

Damit die Transitivität gilt muss dann auch $\begin{eqnarray*} (A,C) \in R \end{eqnarray*}$ sein, damit das gilt muss es also Matrizen Y,Z geben mit

$\begin{eqnarray*} AY = C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} YZ = A \end{eqnarray*}$ . Wie könnten die wohl aussehen?

19.11.2009, 15:03

Jackelbombi

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Das sind meine ersten Versuche mit Latex, ich bin noch nicht so gut darin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich muss sagen, die Sache mit der Reflexivität und Symmetrie ist mir nicht wirklich klar... unglücklich

unglücklich

Aber auch bei der Transitivität machts grad nicht Klick bei mir....

Irgendwie versteh ich das alles nicht traurig

traurig

Ich denk nochmal drüber nach.... verwirrt

verwirrt

19.11.2009, 15:04

Mazze

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Als erstes sollte man immer ordentlich Formulieren was die Eigernschaften für die gegebene Relation heissen. Schreib es mal hin. Was bedeutet $\begin{eqnarray*} (A,A) \in R \end{eqnarray*}$ ? (Reflexivität)

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19.11.2009, 15:12

Jackelbombi

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Also reflexiv heißt doch einfach, dass a äquivalent zu a ist oder nicht?

19.11.2009, 15:14

Mazze

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Nein, Reflexiv heisst das die Eigenschaft die die Relation beschreibt für die Elemente mit sich selber auch gilt. Schreibe mal ganz genau hin was für eine Matrix A bedeutet wenn $\begin{eqnarray*} (A,A) \in R \end{eqnarray*}$ ist.

19.11.2009, 15:18

Jackelbombi

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Also dass die Elemente a aus A und b aus B auch äquivalent sind?
Also kann man sagen, dass ac=b und a=bd? verwirrt

verwirrt

Argh!

19.11.2009, 15:22

Mazze

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Du sollst die Definition von R benutzen. Es gilt :

$\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \Leftrightarrow AC = B \wedge BD = A \end{eqnarray*}$

was passiert wenn man da jetzt B = A setzt... so schwer ist es doch nicht...

19.11.2009, 15:24

kiste

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Zitat:

Original von Mazze
Du sollst die Definition von R benutzen. Es gilt :

$\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \Leftrightarrow \exists C,D: AC = B \wedge BD = A \end{eqnarray*}$

Da das eine Anfängeraufgabe ist sollte man lieber nicht mit Quantoren schlampig sein

19.11.2009, 15:28

Jackelbombi

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Ja dann kommt AC=BD raus, aber was sagt mir das denn über die Reflexivität aus?
Ich bin total verwirrt... traurig

traurig

19.11.2009, 15:31

Jackelbombi

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AAH, und da BDC=B und ACD=A kann ich sagen, es gibt ein C,D für dass die Gleichungen gelten...

19.11.2009, 15:35

Mazze

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Zitat:

Ja dann kommt AC=BD raus, aber was sagt mir das denn über die Reflexivität aus? Ich bin total verwirrt... traurig

Der Knackpunkt hier ist doch nur das ordentliche aufschreiben.

$\begin{eqnarray*} (A,A) \in R \Leftrightarrow \exists C,D ~ AC = A \wedge AD = A \end{eqnarray*}$

welche Matrizen C,D könnten das wohl leisten?

19.11.2009, 15:54

Jackelbombi

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Da würde ich jetzt spontan mal sagen, die Einheitsmatrizen Freude

Freude

19.11.2009, 15:55

Mazze

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Zitat:

Da würde ich jetzt spontan mal sagen, die Einheitsmatrizen Freude

Richtig. Und jetzt formulierst Du den Beweis der Reflexivität mal ordentlich aus. Den Beweis ansich hast Du jetzt. Nur noch ordentlich aufschreiben.

19.11.2009, 16:06

Jackelbombi

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Okay, also kann ich einfach schreiben:

Nach Definition von R gilt
$\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \leftrightarrow\exists C,D:AC=B \wedge BD=A \end{eqnarray*}$

Somit gilt für die Reflexivität:
$\begin{eqnarray*} (A,A) \in R \leftrightarrow\exists C,D:AC=A \wedge AD=A \end{eqnarray*}$

Da C,D die Einheitsmatrizen sind, gilt hier die Reflexivität.
Geht das so, oder ist das zu schwammig?

Kannst du mir auch nochmal die Symmetrie und das Ende von der Transitivität erklären?

19.11.2009, 16:09

Mazze

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Zitat:

Da C,D die Einheitsmatrizen sind, gilt hier die Reflexivität.

Falsch formuliert. Es müsste heissen : Wähle C und D gleich der Einheitsmatrix dann ist $\begin{eqnarray*} AC = A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AD = A \end{eqnarray*}$ und damit ist R reflexiv.

Zur Symmetrie : Was heisst Symmetrie allgemein für eine Relation? Schreibe das hin. Was heisst dann Symmetrie im Speziellen für diese Relation R. Schreibe das hin. Und dann sehn wir weiter.

19.11.2009, 16:14

Jackelbombi

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Dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \leftrightarrow\exists C,D:AC=B \wedge BD=A \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (B,A) \in R \leftrightarrow\exists C,D:BC=A\wedge AD=B \end{eqnarray*}$

oder?
und dann kann ich wieder C und D gleich der Einheitsmatrix wählen...

19.11.2009, 16:16

Mazze

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Du solltest mal ordentlich aufschreiben...

Zitat:

Was heisst Symmetrie allgemein für eine Relation?

Eine Relation R ist Symmetrisch wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was heisst dann Symmetrie im Speziellen für diese Relation R.

Wenn $\begin{eqnarray*} (A,B) \in R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} AC = B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BD = A \end{eqnarray*}$ muss es auch Matrizen X,Y geben mit $\begin{eqnarray*} BX = A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AY = B \end{eqnarray*}$ . Wie könnte man X,Y da wohl wählen?

19.11.2009, 16:20

Jackelbombi

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X, Y müssen dann gleich C und D sein...Muss ich da dann jetzt auch spezielle Matrizen angeben? Also, wie jetzt bei der Reflexivität(Einheitsmatrix)?
Oder reciht das, wenn man sagt dass X,Y gleich C,D sein muss?

19.11.2009, 16:21

Mazze

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Zitat:

X, Y müssen dann gleich C und D sein..

X = C, oder X = D wie genau?

19.11.2009, 16:22

Jackelbombi

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ne

Augenzwinkern

X=D und Y=C

19.11.2009, 16:27

Mazze

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Zitat:

X=D und Y=C

Richtig! Und wenn Du ehrlich bist , hätteste da selber drauf kommen können wenn Du es einfach nur richtig aufgeschrieben hättest!

Zur Transitivität :

Du musst zeigen das $\begin{eqnarray*} (A,B) \in R, (B,C) \in R \Rightarrow (A,C) \in R \end{eqnarray*}$ gilt . Du musst also zwei Matrizen Y und Z finden so dass

$\begin{eqnarray*} AY = C \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} CZ = A \end{eqnarray*}$

gilt. Was Du weisst ist das $\begin{eqnarray*} (A,B) \in R, (B,C) \in R \end{eqnarray*}$ , was heisst das? Aufschreiben!

19.11.2009, 16:36

Jackelbombi

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Da hattest du ja vor ein paar Stunden ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) schon was zu geschrieben:
Dass es Matrizen $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, X_3, X_4 \end{eqnarray*}$ geben muss mit $\begin{eqnarray*} AX_1=B, BX_2=A, BX_3=C, CX_4=B \end{eqnarray*}$

Damit die Transitivität gilt, muss ja dann auch [latex](A,C)\in R[latex] sein. Und es muss gelten AY=C und CZ=A
Und dann kann ich doch einfach sagen, dass Z und Y die Einheitsmatrizen sein müssen und dann steht da wieder A=C und C=A...? verwirrt

verwirrt

und jaaaa, ich hätte auch alleine drauf kommen können, aber iwie ist das heute nicht so einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2009, 16:39

Mazze

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Zitat:

Und dann kann ich doch einfach sagen, dass Z und Y die Einheitsmatrizen sein müssen und dann steht da wieder A=C und C=A...? verwirrt

Ne, da musst Du mehr tun. Du weisst doch gar nicht ob A = C ist, im Allgemeinen ist sogar $\begin{eqnarray*} A \neq C \end{eqnarray*}$ . Nein, Du weisst aber

$\begin{eqnarray*} AX_1 = B \text{ und } BX_3 = C \end{eqnarray*}$ also ist

$\begin{eqnarray*} C = BX_3 = AX_1X_3 \end{eqnarray*}$ damit ist schonmal $\begin{eqnarray*} Y = X_1X_3 \end{eqnarray*}$ . Z geht ganz ähnlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Und die Vorüberlegung braucht man garnicht die ich angestrengt habe!

19.11.2009, 16:46

Jackelbombi

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juhuuu, also ist
$\begin{eqnarray*} A= BX_2=CX_4X_2 \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

Hammer

Dankedankedanke! Du hast echt was gut bei mir^^

19.11.2009, 17:02

Mazze

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Richtig!

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