Nun: Aufgabe zu: Vektorraum

19.11.2009, 16:27

Physinetz

Nun: Aufgabe zu: Vektorraum

Stelle mal wie gesagt die Aufgabe hier rein und würde sie gerne mit euch erarbeiten:

Nach der Vorlesung ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.
Welche der folgenden Mengen sind $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
Welche sind $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume?

a) $\begin{eqnarray*} M_1=\mathbb R \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} M_2=\left(z \in \mathbb C | Im(z)\geq 0 \right) \end{eqnarray*}$

So bis dahin reichts...

Verständnisfragen:

1.

Zitat:

Nach der Vorlesung ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Das bedeutet ja, dass die komplexen Zahlen ein Vektorraum sind, bei dem ich mit einem Skalar aus dem Körper der reellen Zahlen multipliziere.
Kann ich bei den komplexen Zahlen nicht auch mit einem Skalar aus den komplexen Zahlen multiplizieren, sodass ich gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum?
Weil wenn ich mit einer komplexen Zahl skalar multipliziere bekomme ich ja wieder einen Vektor, der auch im $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum liegt?

2.

Zitat:

Welche der folgenden Mengen sind $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Also ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Untervektorraum ist eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ Vektorraums (falls C selber ein Vektorraum ist? siehe 1) ) und diese Teilmenge multipliziere ich nun mit dem reellen Körper und dabei muss wieder ein Element des Untervektorraums herauskommen, richtig?

D.h. bei a) wäre:

Ich kann M_1 mit einer reellen zahl multiplizieren und erhalte wieder eine reelle Zahl die im rellen liegt (oder muss man da sagen ich erhalte einen reellen Vektor) ?Diese relle Zahl ist also Element des Untervektorraums und diese rellee Zahl ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Also ist es ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

bei b) wäre:

Multipliziere ich den imaginären Teil einer komplexen Zahl mit einem reellen Körper, erhalte ich ja wieder einen imaginären Teil. Der imaginäre Teil kann nun aber auch im negativen liegen, womit M_2 kein Untervektorraum von C wäre, weil wenn es ein Untervektorraum , dann müsste ich ja immer nur positive imaginäre Teile erhalten, oder?

Bevor ich mit der anderen Überprüfung fortfahre lass ichs mal sein, bevor ich nur Humbuk schreibe :-D

Viele Grüße

19.11.2009, 16:33

kiste

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1.) Ja $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist sowohl ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ - als auch ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Hier wird es eben als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum betrachtet.

zu a) Das ist die Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation. Du brauchst noch dass die Menge nicht-leer ist(trivial!) und dass es abgeschlossen gegenüber der Addition ist

zu b) Stimmt

19.11.2009, 18:48

Physinetz

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Zitat:

zu a) Das ist die Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation. Du brauchst noch dass die Menge nicht-leer ist(trivial!) und dass es abgeschlossen gegenüber der Addition ist

1)

Könntest du mir das nochmal erklären? Muss ich hier die Regeln überprüfen für die skalare Multiplikation?

2)

Meiner Meinung nach ist M_1und M_2 kein C-Untervektorraum, stimmt das?
Ich überlege mir dass so: Wenn ich M_1 mit einer komplexen zahl skala-multipliziere bekomme ich ja eventuell eine komplexe Zahl raus, und die ist dann keine reelle Zahl mehr, somit kein Untervektorraum. Analog bei M_2

3)

Nun eine neue Menge:

$\begin{eqnarray*} M_3=\left\{ z\in Z | Im(z)=Re(z) \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist ja praktisch eine Gerade. D.h. ich habe z.B. die Punkte (-2/-2) , (1/1) , (3/3) ... nur wie jetzt weiter?

4)

Nur mal so, ich überlege mir dass immer so mit dem Untervektorraum: Wenn ich ein Element des Untervektorraums multipliziere, muss wieder ein Element des Untervektorraums herauskommen, das prüfe ich immer...reicht das schon aus?

5)

Was wäre wenn ich einer der Mengen mit einem Körper skalar nehme, und ich dann ein Element herausbekomme, dass zwar nicht im Untervektorraum liegt, wohl aber im Vektorraum, gibts dafür auch einen Ausdruck? Dann wäre ja der Untervektorraum gar kein Untervektorraum, richtig?

Besten Dank Kiste, echt top Hilfe ! Bitte der Übersichtlichkeit auf die Punkte verweisen

19.11.2009, 19:07

kiste

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Wah, grad ne lange Antwort gemacht und dann ist der PC abgestürzt.
Naja jetzt leider etwas kürzer, hab keine Lust 2mal dasselbe zu schreiben:

1.) http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Untervektorraum
Du hast nur die Abgeschlossenheit bez. skalarer Mult. (der dritte Aufzählungspunkt bei Wikiepedia)
Die ganzen Gesetze musst du aber nicht mehr zeigen, die vererben sich daraus dass wir nur einen Untervektorraum zeigen, wir also schon die Gesetze vom Vektorraum aus kennen und übernehmen dürfen

2.) Die Begründung für M_1 stimmt. M_2 ist kein R-VR und damit auch kein C-VR(mache dir das klar!)

3.) Naja die Punkte im Link von 1) nachrechnen

4.) Nein, s. 1)

5.) Dann ist es eben kein Untervektorraum. Dafür gibt es keinen speziellen Namen weil es eben keine tollen Eigenschaften hat wofür man einen Namen vergeben könnte

19.11.2009, 19:47

Physinetz

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Doofer PC :-D ...jetzt darfst du trotzdem nochmal hierdrauf antworten:

Zitat:

Die ganzen Gesetze musst du aber nicht mehr zeigen, die vererben sich daraus dass wir nur einen Untervektorraum zeigen, wir also schon die Gesetze vom Vektorraum aus kennen und übernehmen dürfen

a)Ja aber wenn ich überprüfen will ob es sich um einen Untervektorraum handelt, dann muss ich die Gesetze ja überprüfen.
Handelt es sich um einen Unterraum, dann gelten ja alle Gesetze...

Zitat:

2.) Die Begründung für M_1 stimmt. M_2 ist kein R-VR und damit auch kein C-VR(mache dir das klar!)

Puh das ist echt schwer nachzuvollziehen nun !

Meiner Meinung nach ist der \mathbb R -Vektorraum doch ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Weil ich habe Elemente im Vektorraum, multipliziere diese Skalar mit reellen Zahlen dann bekomme ich wieder Elemente, die sowohl im \mathbb R -Vektorraum liegen als auch im übergeordneten \mathbb C -Vektorraum.

Also sicher ist, M2 ist kein \mathbb R-Vektorraum . Aber M2 kann doch nun ein C-Vektorraum sein. Weil wenn ich mit einem komplexen Skalar multipliziere, erhalte ich eben irgendeine komplexe Zahl, diese ist dann eben im C-Vektorraum enthalten.

Ein C Untervektorraum kann es nicht sein, da ich nicht immer einen positiven imaginär Teil bekomme wenn ich M_2 mit einem komplexen Skalar multipliziere....

Hmm echt schwer für mich das zu verstehen...

19.11.2009, 20:04

kiste

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Es reicht für einen Unterraum U von V dass:
$\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall u_1,u_2\in U: u_1+u_2\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall k\in K\forall u\in U: k*u\in U \end{eqnarray*}$
Alle restlichen Gesetze die für einen Vektorraum gelten müssen, gelten bereits weil wir wissen dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist!

Zeige allgemein:
Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -VR dann ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.
Wenn du richtig fit bist kannst du auch noch $\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb R} V = 2\dim_{\mathbb C} V \end{eqnarray*}$ zeigen Augenzwinkern

19.11.2009, 20:55

Physinetz

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Zitat:

Original von kiste

$\begin{eqnarray*} \forall k\in K\forall u\in U: k*u\in U \end{eqnarray*}$
Alle restlichen Gesetze die für einen Vektorraum gelten müssen, gelten bereits weil wir wissen dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist!

Hast du dich hier verschrieben?
Das müsste doch lauten: Alle restlichen Gesetze für einen UNTERvektorraum gelten bereits, weil wir wissen dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist.

Und der Untervektorraum für den gelten ja die gleichen Gesetze wie für den Vektorraum....

Ok nun allgemeiner Beweis (hoffe das stimmt was du mit allgemein zeigen meinst):

Bei einem C-Vektorraum gilt dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} u,v\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Nun auf die Regeln angewandt:

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha = a+ib \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta =c+id \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+ib)((c+id)*v))=(ac+iad+ibc-db)*v \end{eqnarray*}$

Muss ich das jetzt für den Rest der Regeln auch machen, und dann das gleiche für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum? Nur dass ich da dann nur mit a bzw. c multipliziere?

Ich zerbrech mir jetzt schon Stunden den Kopf :-D ...aber es macht noch Spaß ^^

19.11.2009, 21:04

kiste

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Nein ich meine schon Vektorraum. Ein Untervektorraum ist ja ein spezieller Vektorraum.
Dein allgemeiner Beweis macht mal überhaupt keinen Sinn, lassen wir das lieber Big Laugh

19.11.2009, 22:46

Physinetz

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ich hau mich morgen nochmal rein, und dann will und muss ich es verstehen!!!

sonst muss das matheboard wieder dran glauben ;-)

21.11.2009, 11:27

Physinetz

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So weitergedacht....

Habe mir jetzt mal dazu gedanken gemacht:

1.

Zitat:

M_2 ist kein R-VR und damit auch kein C-VR(mache dir das klar!)

Im Prinzip kann ich ja immer sagen, wenn die Menge x kein R-VR ist, dann ist sie auch kein C-VR.(weil bei einem Körper C kann ich ja auch mit einer reellen Zahl multiplizieren).

Den Umkehrschluss kann ich aber nicht machen, dass man sagt: ist Menge x ein R-VR so ist Menge x auch ein C-VR .

So nun zur Aufgabe zurück, irgendwie hab ich sie gelöst aber ich weiß nicht ob meine Begründungen richtig sind:

2. Erst noch eine Verständnisfrage:

Zitat:

Welche sind $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume?

Zitat Aufgabe...

Hier müsste doch noch stehen: Welche sind $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Man muss es ja auf irgendeine Menge beziehen, damit es einen Untervektorraum gibt (Teilmenge)

3.

M(1)=R ist ein R-UVR von C da gilt:

M(1) ist Teilmenge von C
M(1) ist ungleich 0
Reelle Zahl + Reelle Zahl = Reelle Zahl
Reelle Zahl * Reelle Zahl = Reelle Zahl

--> Alle Regeln gelten --> M(1) ist ein R-UVR

M(1) ist kein C-Untervektorraum von C da nicht gilt:

Abgeschlossenheit für alle C: $\begin{eqnarray*} \mathbb R +\mathbb C \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$

4.

M(2)=Im(z)>0 ist kein R-UVR von C da gilt:

M(2) ist Teilmenge von C (stimmt)
M(2) ist ungleich 0 (stimmt)
M(2)+IR (stimmt: (x+iy)+3 = (3x+iy) -- > imaginärer Teil unverändert
M(2)*IR stimmt nicht

Somit gelten nicht alle Regeln --> kein R-UVR von C

M(2)=Im(z)>0 ist kein C-UVR von C

z.B gilt die Abgeschlossenheit nicht!

Passt das so von den Begründungen her?

Ich bete zu Gott dass es jetzt stimmt, ansonsten check ichs echt nicht

Gruß und schönen Samstag!

21.11.2009, 11:55

Physinetz

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mir ist gerade noch aufgefallen:

Zitat:

M(2) ist ungleich 0 (stimmt)

Die Regel muss immer lauten

0 ist Element von M(2) ^^ ... also auch bei den anderen Beispielen...

21.11.2009, 18:29

Physinetz

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stimmt das nun so? besten Dank fürs Überprüfen!

21.11.2009, 18:51

kiste

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Hallo,

ich würde es sehr begrüßen wenn du nicht pusht. Insbesondere wenn ich das Thema ja gerade anschaue...

$\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist äquivalent.

1. und 2. stimmen

3.)
Du hast die Abgeschlossenheit gegenüber Addition nicht verstanden. Du addierst nicht Menge + Körper sondern Elemente aus der Menge + Elemente aus der Menge!

Also ist der Beweis dass M1 kein C-UVR ist falsch.

4.) Du musst nicht alles überprüfen(die Addition ist auch wieder falsch, es wird nicht mit dem Grundkörper addiert!). Es reicht zu sagen dass die Multiplikation mit -1 nicht mehr in der Menge landet. Da die -1 in R und in C ist, ist es weder R noch C-UVR

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