Integral und Differenzierbarkeit

05.10.2006, 16:40

PG

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Integral und Differenzierbarkeit

hi

folgende Aufgaben:

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\{x; ~x<=0 \text{und}~x^3+x;~x>0 \} \end{eqnarray*}$

(wenn ich den latexcode wüsste... wie man untereinander schreibt mit einer großen Klammer ...)

Wie oft ist f an der Stelle x=0 differenzierbar verwirrt

verwirrt

Ableitung berechnen!)

wie meinen die das? es kann doch nur einmal differenzierbar sein! kann eine funktion an EINER stelle mehrfach differenzierbar sein? wenn ja, kann mir das einer erklären und ich könnte das berechnen(übrigens beträgt Grenzwert von links und rechts 1 )

b) $\begin{eqnarray*} f_k(x)=0,5x^2-kx+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

Bestimme k so, dass die zugehörige Integralfunktion F_k bei $\begin{eqnarray*} x=6 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle hat.

$\begin{eqnarray*} F_k(x)=\int^x_0~f_k(t)~dt~;~x\in\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_k(x)=\frac{1}{6}x^3-0,5kx^2+6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{6}6^3-0,5k\cdot6^2+6\cdot 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=36-18k+36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=k \end{eqnarray*}$

Berechnen die Funktions werte $\begin{eqnarray*} F_4(0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(6) \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_4 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=5,333 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3=0 \end{eqnarray*}$

Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Sie geben die y-werte des Graphs an oder ist hier was anderes gemeint?
Und noch ne andere Frage- gibt diese Funktion den Flächeninhalt von f an? Wenn ja, wozu ist dann die Stammfunktion?

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} F:~x\to x^2+1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f:~x\to~2x \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die Integralfunktion

wie soll ich das zeigen?

Bestimme die Wendestelle für den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} F:~\}\int^x_1~(t^4-8t-7)~dt \end{eqnarray*}$

ich versteh die ganzen zeichen nicht. VIelleicht hat mein Lehrer auch ein Fehler gemacht beim Bearbeiten des Blattes. Und warum dt, denn wir haben als Integrationsgrenze ein x!!

bitte um erklärung...

05.10.2006, 16:44

therisen

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Fragen über Fragen, hier eine Auswahl an Antworten:

Natürlich kann eine Funktion mehrfach differenzierbar sein! Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist unendlich oft (stetig) differenzierbar. In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f'''(x) = 6 \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} f'''(x) \end{eqnarray*}$ ?

Eine Integralfunktion muss wenigstens eine Nullstelle besitzen, aber $\begin{eqnarray*} x^2+1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ !

05.10.2006, 16:48

PG

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juhu 1000 beiträge!! smile

smile

smile

smile

Tanzen

Tanzen

Tanzen

smile

smile

smile

Zitat:

Original von therisen
Fragen über Fragen, hier eine Auswahl an Antworten:

Natürlich kann eine Funktion mehrfach differenzierbar sein! Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist unendlich oft (stetig) differenzierbar. In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f'''(x) = 6 \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} f'''(x) \end{eqnarray*}$ ?

du bildest also den Grenzwert. was soll dieser Pfeil nach unten bedeuten? kannst du es mir bitte erklären? das seh ich zum ersten mal. Warum ist sin(x) überall differenzierbar? überall stetig ja, aber an einer Stelle unendlich mal differenzierbar? ich seh das nicht...

05.10.2006, 16:48

zweiundvierzig

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Die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ hängt von der Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab. Jedoch ist die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} I_t(x)=\int \limits_a^x~{f(t)~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$ abhängig von der Grenze $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Die Integrationsvariable kannst Du beliebig nennen, üblich ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

05.10.2006, 16:56

PG

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ich hoffe, dass ich das langsam hinkrieg, aber nochmal- wie erledige ich die a)?? ich versteh das mit dem oftmaligem differenzieren an einer Stelle nicht...

05.10.2006, 16:59

therisen

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Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, dann ist f (mindestens) 2 mal differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

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05.10.2006, 17:01

PG

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Zitat:

Original von therisen
Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, dann ist f (mindestens) 2 mal differenzierbar.

ok wie oft kann es noch differenzierbar sein an dieser stelle? warum mindestens 2 mal- das ist doch höchstens!

Ich habe als Grenzwert für beide 1 heraus, also bedeutet das, dass es dort 2 mal differenzierbar ist??? das ist doch voll unsinnig, denn jede differenzierbare funktion wäre dann 2 mal an einer stelle differenzierbar.

oder meinst du, dass ich auch von der 1. ableitung den grenzwert bilden soll? und dann 2mal? aber wie lang geht das eigentlich? hmm ich denke ich habs... deswegen hast du gesagt, dass f(x)=sin(x) unendlich mal dort differenzierbar ist... lol jetzt habe ich es warte ergebnis folgt

edit: 1 mal differenzierbar, da bei beiden grenzwert 1 ist! beim zweiten mal geht es nicht mehr, weil einmal kommt 0 als Grenzwert und dann 4! ist das richtig so? habe ich es verstanden? und was hast du mit dem Pfeil nach unten gemeint unter dem Limes?

05.10.2006, 17:07

therisen

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Zitat:

Original von PG

Zitat:

Original von therisen
Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, dann ist f (mindestens) 2 mal differenzierbar.

ok wie oft kann es noch differenzierbar sein an dieser stelle? warum mindestens 2 mal- das ist doch höchstens!

Ich habe als Grenzwert für beide 1 heraus, also bedeutet das, dass es dort 2 mal differenzierbar ist??? das ist doch voll unsinnig, denn jede differenzierbare funktion wäre dann 2 mal an einer stelle differenzierbar.

oder meinst du, dass ich auch von der 1. ableitung den grenzwert bilden soll? und dann 2mal? aber wie lang geht das eigentlich? hmm ich denke ich habs... deswegen hast du gesagt, dass f(x)=sin(x) unendlich mal dort differenzierbar ist... lol jetzt habe ich es warte ergebnis folgt

Großes Nein. Höchstens 2 mal differenzierbar bedeutet, dass sie 2 mal oder weniger differenzierbar ist. Woher willst du aber wissen, dass sie nicht auch 3 mal differenzierbar ist? Denke an die Sinusfunktion!

Ja, du sollst auch von der 1. Ableitung den Grenzwert bilden.

EDIT: Nein: $\begin{eqnarray*} f''(x)=6x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ Der Pfeil nach unten bedeutet rechtsseitiger Grenzwert und der Pfeil nach oben linksseitiger Grenzwert.

05.10.2006, 17:09

PG

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siehe edit

edit :hmm also dann schreib ich es hier:

also 1 mal auf jedenfall differenzierbar, denn f'(x)=1

2 mal auch, denn f''(x)=0

also max. 2 mal differenzierbar, aber nicht mehr!!( denn von links f'''(x)=0 und von rechts f'''(x)=6 )

ist es diesmal richtig?

aber nicht nur die ´sinusfunktion wäre unendlich mal differénzierbar, sondern auch´in ihrem Definitionsbereich stetige Funktionen mit den ersten gleichen Grenzwert

z.b. $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die sind doch an einer stelle unendlich mal differenzierbar, weil am ende kommt immer als beidseitiger Grenzwert 0 raus und man kann ja immer wieder grenzwert bilden! was sagst du dazu?

05.10.2006, 17:46

PG

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Auch wenn es jetzt blöd ankommt wegen dem Doppelpost- aber ich bitte für Hilfe, da ich nicht viel Zeit mehr habe und ich denke, dass es als erledigt gedacht wurde, weil ich vorhin nur "siehe edit" geschrieben hatte.

05.10.2006, 18:54

therisen

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Passt so.

EDIT: Besser ist es zu sagen, dass sie genau 2 mal und nicht maximal 2 mal differenzierbar (in ihrem Definitionsbereich) ist.

05.10.2006, 19:18

PG

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RE: Integral und Differenzierbarkeit
beantworten wir die Fragen nacheinander:

1.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die sind doch an einer stelle unendlich mal differenzierbar, weil am ende kommt immer als beidseitiger Grenzwert 0 raus und man kann ja immer wieder grenzwert bilden! was sagst du dazu?

stimmt diese Aussage?

2. Berechnen die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} F_4(0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(6) \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_4 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=5,333 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3=0 \end{eqnarray*}$

Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
a)Sie geben die y-werte des Graphs an oder ist hier was anderes gemeint?
b)Stimmt k=4 überhaupt verwirrt

verwirrt

s.o.)

3. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} F:~x\to x^2+1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f:~x\to~2x \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die Integralfunktion

$\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~2x=F(x)=x^2+C \end{eqnarray*}$

muss es so gezeigt werden?

4. Bestimme die Wendestelle für den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} F:~\}\int^x_1~(t^4-8t-7)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F''(x)=4x^3-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'''(x)=12x^2 \end{eqnarray*}$

durch Einsetze x>0, also rechts-links Kurve bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

05.10.2006, 19:33

therisen

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RE: Integral und Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von PG
beantworten wir die Fragen nacheinander:

1.

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die sind doch an einer stelle unendlich mal differenzierbar, weil am ende kommt immer als beidseitiger Grenzwert 0 raus und man kann ja immer wieder grenzwert bilden! was sagst du dazu?

stimmt diese Aussage?

Ja.

Zitat:

Original von PG
2. Berechnen die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} F_4(0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_4(6) \end{eqnarray*}$ der zugehörigen Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_4 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=5,333 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3=0 \end{eqnarray*}$

Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
a)Sie geben die y-werte des Graphs an oder ist hier was anderes gemeint?
b)Stimmt k=4 überhaupt verwirrt

verwirrt

s.o.)

ad 2a) Du sollst vermutlich flächenmäßig argumentieren.
ad 2b) Passt, wenn du dich nicht verrechnet hast (beim Überfliegen ist mir nichts aufgefallen).

Zitat:

Original von PG
3. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} F:~x\to x^2+1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f:~x\to~2x \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die Integralfunktion

$\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~2x=F(x)=x^2+C \end{eqnarray*}$

muss es so gezeigt werden?

Überzeugt mich nicht. $\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist notwendig nachzuweisen (hast du ja). Für eine Integralfunktion ist es aber auch notwendig, dass sie eine Nullstelle besitzt! Dein F(x) hat aber keine Nullstelle (siehe oben!).

Zitat:

Original von PG
4. Bestimme die Wendestelle für den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} F:~\}\int^x_1~(t^4-8t-7)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F''(x)=4x^3-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'''(x)=12x^2 \end{eqnarray*}$

durch Einsetze x>0, also rechts-links Kurve bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Ja, passt.

05.10.2006, 20:19

PG

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RE: Integral und Differenzierbarkeit
ok es wäre fast alles geklärt

1. Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Die y-Werte geben die Fläche der Funktion f an.

2. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} F:~x\to x^2+1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f:~x\to~2x \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die Integralfunktion

$\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~2x=F(x)=x^2+C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Überzeugt mich nicht. $\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist notwendig nachzuweisen (hast du ja). Für eine Integralfunktion ist es aber auch notwendig, dass sie eine Nullstelle besitzt! Dein F(x) hat aber keine Nullstelle (siehe oben!).

Da $\begin{eqnarray*} F(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ abgeleitet f(x)=2x ergibt, ist es eine Stammfunktion. Aber Integralfunktion deswegen nicht, weil es keine Nullstellen besitzt!

3. Der Unterschied zwischen Integralfunktion und Stammfunktion ist einfach, dass die Stammfunktion abgeleitet die Funktion f(x) ergibt. Hat die Stammfunktion auch Nullstellen, so handelt es sich hierbei um eine Integralfunktion und sie muss auch abgeleitet die Funktion f(x) ergeben.

Ist so die Definition richtig?

4. Gibt der y-wert der Stammfunktion oder der Integralfunktion die Fläche der Ausgangsfunktion an?

05.10.2006, 21:07

therisen

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RE: Integral und Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von PG
ok es wäre fast alles geklärt

1. Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Die y-Werte geben die Fläche der Funktion f an.

Das geht noch viel ausführlicher. Es hat schon seinen Grund, dass du die Werte auch ausrechnen solltest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von PG
2. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} F:~x\to x^2+1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f:~x\to~2x \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht die Integralfunktion

$\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~2x=F(x)=x^2+C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Überzeugt mich nicht. $\begin{eqnarray*} F'(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist notwendig nachzuweisen (hast du ja). Für eine Integralfunktion ist es aber auch notwendig, dass sie eine Nullstelle besitzt! Dein F(x) hat aber keine Nullstelle (siehe oben!).

Da $\begin{eqnarray*} F(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ abgeleitet f(x)=2x ergibt, ist es eine Stammfunktion. Aber Integralfunktion deswegen nicht, weil es keine Nullstellen besitzt!

Freude

Zitat:

Original von PG
3. Der Unterschied zwischen Integralfunktion und Stammfunktion ist einfach, dass die Stammfunktion abgeleitet die Funktion f(x) ergibt. Hat die Stammfunktion auch Nullstellen, so handelt es sich hierbei um eine Integralfunktion und sie muss auch abgeleitet die Funktion f(x) ergeben.

Ist so die Definition richtig?

Nein. Die Klasse der Integralfunktionen ist eine echte Unterklasse der Klasse der Stammfunktionen, d.h. jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion.

Zitat:

Original von PG
4. Gibt der y-wert der Stammfunktion oder der Integralfunktion die Fläche der Ausgangsfunktion an?

Stammfunktion im allgemeinen nein, Integralfunktion ja.
Nachtrag: Man spricht besser von einer "Flächenbilanz".

05.10.2006, 21:19

PG

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RE: Integral und Differenzierbarkeit
1. Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Ein x=0 einfache Nullstelle
x=2 Hochpunkt
x=6 doppelte Nullstelle

ist das der Grund?

Zitat:

Nachtrag: Man spricht besser von einer "Flächenbilanz".

Als Anmerkung:ich finde solche Nachträge immer gut! danke

2. Nochmal zum Unterschied der Stammfunktion und Integralfunktion.
Ich würde es so erklären.
Die Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral bezeichnet, d.h., dass man den konstanten Wert der Integration nicht kennt
Die Integralfunktion wird auch bestimmtes Integral genannt, da hier die Konstante bekannt ist.
Wenn diese Definition stimmt, so frage ich mich trotzdem, warum $\begin{eqnarray*} F(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist, weil hier ist die Konstante der Integration bestimmt, also +1!

05.10.2006, 22:02

therisen

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RE: Integral und Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von PG
1. Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Ein x=0 einfache Nullstelle
x=2 Hochpunkt
x=6 doppelte Nullstelle

verwirrt

Ist so ohne weiteres nicht ersichtlich. Ich hätte so geantwortet: $\begin{eqnarray*} F_4(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist klar, da ein Punkt den Flächeninhalt 0 hat (Schulmathematik). $\begin{eqnarray*} F_4(2) =\dots > 0 \end{eqnarray*}$ gibt an, dass die Flächenbilanz im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2] \end{eqnarray*}$ positiv ist und $\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$ beträgt. $\begin{eqnarray*} F_4(6) = 0 \end{eqnarray*}$ sagt aus, dass sich die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;6] \end{eqnarray*}$ aufheben. Da $\begin{eqnarray*} F_4(2) = \dots > 0 \end{eqnarray*}$ lässt sich noch sagen, dass die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [2;6] \end{eqnarray*}$ eine negative Flächenbilanz von $\begin{eqnarray*} - \dots \end{eqnarray*}$ hat.

Zitat:

Original von PG
2. Nochmal zum Unterschied der Stammfunktion und Integralfunktion.
Ich würde es so erklären.
Die Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral bezeichnet, d.h., dass man den konstanten Wert der Integration nicht kennt
Die Integralfunktion wird auch bestimmtes Integral genannt, da hier die Konstante bekannt ist.
Wenn diese Definition stimmt, so frage ich mich trotzdem, warum $\begin{eqnarray*} F(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist, weil hier ist die Konstante der Integration bestimmt, also +1!

Das ist auch keine klare Definition und das Gegenargument mit der +1 ist ohne Sinn. Anschaulich kann man es so formulieren: Die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_a \end{eqnarray*}$ gibt für jeden Funktionswert $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ den konkreten Flächeninhalt (bzw. Bilanz) des Integranden in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a;x] \end{eqnarray*}$ an. Eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ im allgemeinen hat keine geometrische Bedeutung. Die Differenz $\begin{eqnarray*} S(x)-S(a) \end{eqnarray*}$ liefert den gleichen Wert wie die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} F_a(x) = S(x)-S(a) \end{eqnarray*}$ .

05.10.2006, 22:20

PG

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RE: Integral und Differenzierbarkeit
1.

Zitat:

Zitat:

Original von PG
Welche anschauliche Bedeutung haben diese speziellen Funktionswerte für den Graphen $\begin{eqnarray*} G_{F_4} \end{eqnarray*}$
Ein x=0 einfache Nullstelle
x=2 Hochpunkt
x=6 doppelte Nullstelle

verwirrt

Ist so ohne weiteres nicht ersichtlich. Ich hätte so geantwortet: $\begin{eqnarray*} F_4(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist klar, da ein Punkt den Flächeninhalt 0 hat (Schulmathematik). $\begin{eqnarray*} F_4(2) =\dots > 0 \end{eqnarray*}$ gibt an, dass die Flächenbilanz im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2] \end{eqnarray*}$ positiv ist und $\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$ beträgt. $\begin{eqnarray*} F_4(6) = 0 \end{eqnarray*}$ sagt aus, dass sich die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;6] \end{eqnarray*}$ aufheben. Da $\begin{eqnarray*} F_4(2) = \dots > 0 \end{eqnarray*}$ lässt sich noch sagen, dass die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [2;6] \end{eqnarray*}$ eine negative Flächenbilanz von $\begin{eqnarray*} - \dots \end{eqnarray*}$ hat.

Du hast es jetzt aber mit der Flächenbilanz von den Graphen f erklärt. Aber es ist doch gefragt worden, welche Bedeutung es in den Graphen $\begin{eqnarray*} F_4 \end{eqnarray*}$ hat.

Zitat:

[Anschaulich kann man es so formulieren: Die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_a \end{eqnarray*}$ gibt für jeden Funktionswert $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ den konkreten Flächeninhalt (bzw. Bilanz) des Integranden in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a;x] \end{eqnarray*}$ an. Eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ im allgemeinen hat keine geometrische Bedeutung. Die Differenz $\begin{eqnarray*} S(x)-S(a) \end{eqnarray*}$ liefert den gleichen Wert wie die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F_a(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} F_a(x) = S(x)-S(a) \end{eqnarray*}$ .

echt kompliment- du hast es mir sehr gut beschrieben und mit einem Schlag habe ich den Unterschied smile

smile

ich muss es nochmal gedanklich durchgehen

nächste und letzte Aufgabe: Der zum Ursprung pumktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch den Punkt B(2/0) und teilt das Quadrat A(0/0), B ,C(2,-2), D(0/-2) im Verhältnis 1:5. Berechne den Funktionsterm

f(x)=ax^3+bx
I 0=8a+2b

Den nächsten Punkt bekomm ich irgendwie nicht hin...

so sieht das quadrat aus

wie bekommt man Relationen gezeichnet?

06.10.2006, 00:40

therisen

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Das Zitieren hast du noch nicht so ganz verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist eine ungewöhnliche Fragestellung, aber man könnte ja mal den Satz von Rolle verwenden. Ist natürlich immer die Frage, wie viele Punkte es auf so eine Aufgabe gibt und wie einheitlich man das korrigieren kann.

Zu der anderen Aufgabe: Der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx \end{eqnarray*}$ stimmt. Die weitere Gleichung liefert dir das Integral: Es muss $\begin{eqnarray*} \int_0^2 f(x) \dd x = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ gelten. Warum nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$ gelten kann, kannst du leicht selbst herausfinden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Am Schluss schaut das dann so aus:

Gruß, therisen

06.10.2006, 14:21

PG

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Zitat:

Original von therisen
Zu der anderen Aufgabe: Der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx \end{eqnarray*}$ stimmt. Die weitere Gleichung liefert dir das Integral: Es muss $\begin{eqnarray*} \int_0^2 f(x) \dd x = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ gelten. Warum nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$ gelten kann, kannst du leicht selbst herausfinden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich weiß nicht, wie du auf die Fläche $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ gekommen bist. Ich habe es mir so gedacht:

$\begin{eqnarray*} -4Fe\cdot\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}Fe \end{eqnarray*}$

also folgt
$\begin{eqnarray*} \int^2_0~f(x)~dx=[\frac{1}{4}ax^4+0,5bx]^2_0=-\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a\cdot2^4+0,5b\cdot2^2=-\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a+2b= -\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8a+2b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4a=-\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

ich höre mal ab hier auf- wo liegt der Denkfehler?

06.10.2006, 15:55

therisen

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Zitat:

Original von PG
Also ich weiß nicht, wie du auf die Fläche $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ gekommen bist. Ich habe es mir so gedacht:

$\begin{eqnarray*} -4Fe\cdot\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}Fe \end{eqnarray*}$

Ab hier ist es falsch. Bezeichnet man die beiden Flächeninhalte im Quadrat mit x und y, dann gilt zunächst $\begin{eqnarray*} x+y=4 \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ . Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Im konkreten Fall empfiehlt es sich mit $\begin{eqnarray*} x+y=-4 \end{eqnarray*}$ zu rechnen (sozusagen gewichtete Flächeninhalte Big Laugh

Big Laugh

).

Gruß, therisen

1

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