Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert

19.11.2009, 23:45

Nik88

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Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert

Aufgabe:

Zeigen Sie das die rekursiv definierte Folge

[attach]12100[/attach]

konvergiert, indem Sie Monotonie und Beschränktheit nachweisen.
Bestimmen Sie anschließend den Grenzwert der Folge.

Ich war leider krank am Tage der Vorlesung. Ich werde allerdings auch nicht aus dem Script meines Komilitonen schlau noch aus dem Internet. Es wäre sehr nett von euch, wenn Ihr mir anhand dieser Aufgabe mir vermitteln könntet, wie das alles so recht funktioniert.

Danke schonmal im vorraus!

Meine Versuche bissher:

für die Monotonie: a2 = (1/4)² + 1/4 = 3/8
a3 = (3/8)² + 1/4 = 25/64
daraus entnehme ich das die folge von 0,25 aufwärts steigt --> also monoton. Richtig?

Was genau ist an? bei a1 = an = 1/4?
bei a2 = an = 3/8?

Mfg

Nik

19.11.2009, 23:51

IfindU

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a2 = (1/4)² + 1/4 = 3/8

Das würde ich nochmal überdenken.

20.11.2009, 09:32

Nik88

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ist an nicht immer der Wert der für das vorherige Folgeglied rauskommt?
Wie gesagt, ich stehe bei diesem Thema momentan noch auf dem schlauch!
Wie ist denn der Wert für an beim ersten Folgeglied?
Ich hab ja bisher nur nur a1.

20.11.2009, 10:04

klarsoweit

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RE: Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert

Zitat:

Original von Nik88
Was genau ist an? bei a1 = an = 1/4?
bei a2 = an = 3/8?

Dies zeigt mir, daß du das Prinzip einer rekursiven Folge nicht verstanden hast. Bei einer rekursiven Folge gibt es keinen expliziten Ausdruck für a_n. Es wird lediglich ein Startwert (also a_1) angegeben und eine Rekursionsformel, mit der man aus dem Vorgänger den Nachfolger der Folge berechnen kann.

Zitat:

Original von Nik88
a2 = (1/4)² + 1/4 = 3/8

Trotz des Hinweises von Ifindu merkst du nicht, daß (1/4)² + 1/4 = 3/8 falsch ist. Das ist erschütternd. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Nik88
daraus entnehme ich das die folge von 0,25 aufwärts steigt --> also monoton. Richtig?

Als zu zeigende Vermutung ist das ok. Ein Beweis ist das aber nicht.

20.11.2009, 12:10

Nik88

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Also a1= 1/4 ist nur das erste Folgeglied.

Danach kann ich beliebig für an einsetzen... also z.b an = 4 oder so!? Richtig?

-->steht das quadrat da im prinzip nur, damit die Folge nicht in den negativen Bereich
geht?

--> $\begin{eqnarray*} 1/4 <= a_n < \infty \end{eqnarray*}$

Soweit jetzt richtig?

20.11.2009, 12:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nik88
Danach kann ich beliebig für an einsetzen... also z.b an = 4 oder so!? Richtig?

Unfug. a_n = 4 würde bedeuten, daß für alle n aus N eben a_n = 4 ist.
Du kannst aus a_1 das a_2 berechnen, dann aus a_2 das a_3, usw.

Zitat:

Original von Nik88
--> $\begin{eqnarray*} 1/4 <= a_n < \infty \end{eqnarray*}$

Das ist sicherlich richtig. Aber wir brauchen den Nachweis, daß die Folge (a_n) nach oben beschränkt ist.

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20.11.2009, 13:06

Kuehlkiste

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Die Beschraenktheit zeigst Du am besten per Induktion.
Waehle dazu z.B. 0.5 als obere Schranke.

Die Monotonie folgt mit Hilfe der offensichtlichen Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 0\leq\left(a_n-\frac 12\right)^2 \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 12:09

Nik88

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verstehe ich nicht. ich hab doch oben per induktion eingesetzt. und damit festgestellt, dass die Folge von 0,25 an nach oben verläuft.
wieso soll ich jez für a_n 0,5 einsetzen?
Verstehe bald gar nichts mehr...

meines erachtes steht da ja a_n² + 1/4
dann ist es doch egal was ich einsetz für a_n. Es wird immer größer werden oder nicht!?

Was hat denn das mit der Beschränktheit überhaupt auf sich? In wie fern soll die denn BEschränkt sein, wenn die Folge doch gegen unendlich läuft?

mfg
Nik

21.11.2009, 13:15

Lord Pünktchen

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Um die Monotonie zu beweisen musst zu folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall~n \in \mathbb N :~a_n \leq a_{n+1} = a_n^2 + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Falls du diese Ungleichung umformst kommst du auf den Ausdruck von Kuhkiste

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n^2 - a_n + \frac{1}{4} = (a_n - \frac{1}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Wie trivial oder offensichtilich das ist, ist vollkommen egal. In der Aufgabenstellung steht, dass man dies nachweisen soll. Ein "ich schätze" oder "ich schließe, dass" sind in Nachweisen fehl am Platz. Und deine Frage lässt vermuten, dass du dir nichteinmal sicher bist.
ALSO: Den Beweis formal wiedergeben, so wie es in der Aufgabenstellung verlangt wird.

Um die Beschränktheit zu beweisen musst du folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists c_1 , c_2 \in \mathbb R ~s.d \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} .~ \forall~n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} :~ c_1 \leq a_n \leq c_2 \end{eqnarray*}$

Die untere Schranke hast du ja schon herausgefunde.
$\begin{eqnarray*} c_1 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Jetzt brauchst du noch eine obere Schranke. Und nein ... die Folge strebt nicht gegen unendlich.

Den vorschlag von Kuhkiste solltest du einfach annehmen. Versuche über Induktion zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen n.

Edit: Mit Induktion ist hier die vollständige Induktion gemeint.
Dabei zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und danach zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n^2 + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , falls bereits $\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

21.11.2009, 14:08

Nik88

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ja also bei a1 < an ist es ja offensichtlich....., dass 1/4 < 1/2 ist.

und bei a_n+1 ist es ja dann 1/2 <= 1/2...!
Also heisst das dann das c2 = 1/2 ist. Richtig?

Und wovon muss ich jetzt grenzwert bestimmen?

nehm ich dazu den Term von a_n+1 ?

gruß nik

21.11.2009, 14:26

Lord Pünktchen

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Korrekt: c_2 = 1/2

Zum Grenzwert: Welche Sätze kennt ihr schon.

Weißt Du, dass $\begin{eqnarray*} a := \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , falls a_n eine konvergente Folge ist.

Weißt Du, dass in diesem Fall auch:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \cdot a_n = (\lim_{n \to \infty} a_n) \cdot (\lim_{n \to \infty}a_n) = a \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt?

Sollte dies so sein, dann kannst du zur Ermittlung des Grenzwertes folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_{n}^{2} + \frac{1}{4} = a^2 + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 14:38

Nik88

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was setz ich dann für dieses a ein?

wir haben irgendwie ein zusammenhang mit der e. also der Eulrischen Zahl...
aber ich glaube das bezieht sich noch auf die Beschränktheit oder?

21.11.2009, 15:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nik88
was setz ich dann für dieses a ein?

Gar nichts. Du löst eine quadratiche Gleichung: $\begin{eqnarray*} a = a^2 + \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 15:20

Nik88

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a = a² + 1/4

a² - a + 1/4 = 0

(a-1/2)² = 0

a - 1/2 = +- 0

a = 1/2

Richtig?

21.11.2009, 17:44

Nik88

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DAnn bedanke ich mich recht herzlich bei allen, die hier in diesem Thread mitgewirkt haben.

mfg

Nik

22.11.2009, 10:44

klarsoweit

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Also ich sehe nicht, daß du die Beschränktheit nach oben gezeigt hast.

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