Mathe Referat Thema: Beweisverfahren in der Mathematik

20.11.2009, 16:22	Kimi89	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathe Referat Thema: Beweisverfahren in der Mathematik Hallo! Ich muss nächste Woche ein Referat in Mathe zum Thema "Beweisverfahren in der Mathematik" halten und bräuchte nun Hilfe. Ich möchte den direkten Beweis, den indirekten Beweis, den Gegenbeweis und die vollständige Induktion als Beispiele nennen. Kann mir vllt jemand mit Beispielen weiterhelfen, die nicht zu kompliziert sind, sodass ich sie vor der Klasse, bzw mit ihr rechnen kann. Bin leider kein Mathegenie, sie sollten daher ausführlich genug sein, damit ich sie auch verstehe und mich nicht blamiere! Vielen Dank im vorraus, ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen! Kim
20.11.2009, 16:49	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis: $\begin{eqnarray} \sqrt2 \not \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ (Wurzel aus Zwei ist nicht rational) Vollst. Induktion: $\begin{eqnarray} 1+2+ \cdots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ (Gaußsche Summenformel für die Summe über die ersten n natürlichen Zahlen) Direkter Beweis: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist immer ungerade. Gegenbeweis: Bin mir nicht sicher, was du meinst. Meinst du, dass man eine Behauptung widerlegt, indem man ein Gegenbeispiel anführt? Die o.g. drei Beispiele sind absolute Klassiker. Beim Direkten Beweis kannst du auch die Gaußsche Summenformel nehmen und direkt beweisen. Dann zeigst du ganz nebenbei, dass in der Mathematik viele Wege nach Rom führen. Gauß hat den Beweis als Kind selbst geführt. Edit: Übrigens ... die Induktion versteht kein Mensch, wenn du nicht vorher deren Prinzip erklärst. Direkter/Indirekter Beweis sind ja sehr "schlüssig", auch in der Alltagslogik. air
20.11.2009, 16:57	Kimi89	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollst. Induktion: $\begin{eqnarray} 1+2+ \cdots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ (Gaußsche Summenformel für die Summe über die ersten n natürlichen Zahlen) ich kenn leider dieses "E"-Zeichen nicht, tut mir leid! Gegenbeweis: Bin mir nicht sicher, was du meinst. Meinst du, dass man eine Behauptung widerlegt, indem man ein Gegenbeispiel anführt? Ja, genau das mein ich! Aber für den Gegenbeweis hab ich schon einfaches Beispiel gefunden, das sogar ich verstehe! Aber vielen Dank, hat mir schon sehr weitergeholfen!
20.11.2009, 17:09	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Vermeidung der Unkenntnis dieses "E-Zeichens" (es heißt einfach nur "Summe") betrachte die linke und rechte Seite. Dieses Summensymbol ist nur eine Schreibweise für die linke Seite. Die eigentliche Behauptung ist also die Gleichheit vom linken und rechten Term. Also $\begin{eqnarray} 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Das ist so das gängige Einsteigerbeispiel zur Induktion. Noch ein Hinweis, wenn du die Induktion erklärst: Dominosteine sind eine gute Veranschaulichung. Und betone die Wichtigkeit der Gültigkeit des Induktionsanfanges. air
25.11.2009, 16:10	Kimi89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bins nochmal! Kann mir vllt jemand mit einer guten Definition für: Was versteht man unter Beweisverfahren und wann benutze ich sie? weiterhelfen? Ich suche schon die ganze Zeit, nur leider find ich keine die ich gebrauchen könnte, die länger als ein Satz ist. Danke im Vorraus! Kim
26.11.2009, 12:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Google ist dein Freund! Ich verstehe nicht, weshalb die meisten Leute im großen Almanach nie etwas finden. Die Suche nach "beweisverfahren mathematik" zeitigt viele interessante und auch ausführliche Erklärungen. z.B. http://www.mathe1.de/mathematikbuch/inte...rfahren_186.htm Ein schönes PowerPoint-Tutorial findet man unter http://www.uni-trier.de/fileadmin/fb4/FS...isverfahren.ppt usw., usw, lässt sich beliebig weiter fortsetzen. mY+
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26.11.2009, 15:00	Kimi89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich "tot-gegooglet" und natürlich auch etwas gefunden, nämlich genau diesen ersten link, aus dem ich auch viel entnommen habe, der auch sehr hilfreich war, aber leider wiederholen sich immer wieder die selben definitionen und beispiele, so wie im zweiten link, da steht so ziemlich dasselbe wie im ersten, vorallem was die beispiele betrifft. Ich bräuchte einfach nur eine definition die es auf den punkt bringt und sagt:" wenn das diese formulierung steht, nimmst du das direkte beweisverfahren, bei dieser das indirekte!"
26.11.2009, 18:57	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas wirst du aber nicht finden ! Wieso? Ein Beweis ist eben nicht etwas, das man mechanisch tut. Es ist was kreatives. Vergleiche es mit dem Malen von einem Bild. Das ist auch etwas kreatives und verschiedene Leute gehen verschieden an ein Motiv heran um es zu malen. Bei Beweisen ist es ähnlich: Manche Leute nehmen eine vollständige Induktion, manche Leute finden [durch kreatives Versuchen] einen direkten Beweis, wieder ein Anderer findet einen Beweis durch Widerspruch. Da spielt es auch sehr mit herein was man schon weiss und als Vorwissen im Beweis benutzen darf.

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