Basen von Untervektorräumen

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Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Untervektorräumen
Hallo, ich habe irgendwie ein Problem damit folgened Aufgabe zu lösen:
Es heht darum die Basen des folgenden Untervektorraumes des R^4 zu bestimmen:
Alle vektoren der Form(a,b,c,0) mit a,b,c ?R

Wie kann man das denn so allgemein machen, denn mir ist schon klar, dass ich ein linear unabhängiges EZS angeben muss?
Aber wie bei keinen Zahlen?!
Ich bitte sehr um Hilfestllungen!
danke
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
naja, im zweifelsfall nimm halt die basis, die an der stelle x_i, i=1,2,3 eine 1 hat und sonst nur nullen.
 
 
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
darf ich das denn hier?
Einfach zahlen als Lösung angeben?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
warum nicht? wie ist denn die aufgabenstellung genau?
du sollst einfach eine basis finden oder nicht?
nimm dir nen paar vektoren von denen du glaubst, sie bilden eine basis und zeige, dass sie linear unabhängig sind und den gewünschten raum erzeugen.
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Bestimmen sie DIE Dimension und Basen der folgenden UNtervektorräume des R4...und dann halt mehreer Formen von Vekotren!

Reichen Besp. da wirklich aus?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
die dimension ist klar, da gibt es ja nur eine.....
der plural basen, aber im zweifel nimm die basen der form (a,0,0,0),(0,b,0,0) und (0,0,c,0), desweiteren gibt es basen der form (a,b,0,0),(a,0,c,0),(0,b,c,0) usw.
sind noch mehr, aber die wirste auch selber finden Augenzwinkern
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Naja...dann müsste ich aber doch noch zeigen, dass deine drei zuerst genannten Vektoren auch wirklich eine Basis bilden, oder?
also müsste ich sie auf L. u. tetsen und dann noch das mirt dem EZS!?

Wie müsste ich das mit dem EZS denn dabei angehen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
du zeigst, dass jeder vektor der form (a,b,c,0) durch die drei vektoren dargestellt wird:
fernerhin "konstruierst" du die basen ja so, dass sie lu sind, also einfach zu zeigen, nimm obiges LGS und schaue, wie die aussehen.
bei der zweiten basis die ich angeführt hab machst du es genau so, aber wie gesagt, es gibt noch noch nen paar mehr, die sollst du dann wohl alle angeben.
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
ok...ich galube ich weiß wie ich htte dann ja immer Vektoren der Form: (x1a,x2b,x3c,0) und das wäre dann ja immer im Unterraumvekor, also liegen alle da drin.

Aber ich glaube mehr Basen muss ich garnicht angeben, der Plurakl bezieht sich emeiner Menung anch auf die nächstn Telaufgaben, da da nochmehr Untervektorräume sind für die ich dann Basen angeben soll, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
kann sein, weiss ich nicht, aber dann wären wir wieder am anfang, dann kannste auch die basis nehmen, die ich dir zuerst gepostet habe....
andersherum kann man auch die a,b,c durch einsen ersetzten, ist dann immer noch ne basis.....
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Na toll und was soll ich jetzt machen?
Wofür würdest du dich entscheiden?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
ich würde eine angeben, hab ich aber ganz am anfang auch schon gemeint, denn es ist eigentlich nen bisschen viel verlangt, möglichst viele anzugeben, imerhin ist son ding wie

auch ne basis des von dir gewünschten vektorraums, und da gibt es dementsprechend unendlich viele......
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
GUck noch mal kurz: Bei der nächsten Teilaufgabe muss man Basi und Dim zu allen Vektoren der Form (a,b,c,d) mit d=a+b und c=a-b bestimmen. Da würde es doch auch garnicht mehr alllgemein gehen, oder?
Hier müsste doch auf jeden Fall ein Beispil reichen, oder nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
was heisst beispiel....
damit meinst du wahrscheinlich, eine basis mit zahleneinträgen in den vektoren.
auch hier kann man eine basis in abhängigkeit von a,b angeben, aber wie gesagt, ich glaube nicht, dass das verlangt ist, zum beispiel (a,0,a,a),(0,b,-b,b).
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Mir ist gerade aufgefLLEN; DASS MAN BEI DIEM bESIPILE GAR KEINE Basis angeben kann, da die Einträge der Vektoren ja immer von eonenader anbhöängen oder ändert das nichts?
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Aber wenn man jetzt z.B (1,0,1,1) als v1 und v2= (0,1,-1,1) nimmt, dann sind die doch nicht l. u. - also auch keine basis, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
sind sie nicht?
doch, die vektoren (1,0,1,1) und (0,1,-1,1) sind lu, nenn mir das skalar s mit dem gilt:
s(1,0,1,1)=(0,1,-1,1), wenn du eins findest glaub ich dir.....
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Upps...stimmt ich habe glaube ich gerade etwas zu kompliziert gedacht...durch die Nullen an den untersch. Stellen ist das ja sicher so ok. Also sry smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
aufgaben gelöst?
..oder noch fragen?
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
ich bin noch dabei - fragen kommen bestimmt noch ^^
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Okay...hänge jetzt doch wieder irgendwie bei der l.u. fest. Ich muss ja zeigen, dass x1*(1,0,1,1)+x2*(0,1,-1,1)= (0,0,0,0) ist, aber eben nur wenn x1 und x2 =0 gilt. Wie muss ich das denn jetzt iomn eine Matrix schreiben - bei mir kommt dann nämlich olgendes raus:
1 0 1 1
0 1-1 1
Und wieseo sollte ich an diser Matrix erkennen, dass sie Vektoren l. u. sind?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
warum zeigst du nicht, dass (1,0,1,1) nicht ein vielfaches von (0,1,-1,1) ist?
hab ich dir doch schon vorgemacht, es gibt kein skalar s mit s(0,1,-1,1)=(1,0,1,1),
denn dann wäre das lgs:
0s=1 (kann nicht hinkommen)
1s=0(kommt nur hin für s=0)
-1s=1(kommt nur hin für s=-1)
1s=1(kommt nur hin für s=1)
es gibt also kein skalar s, dass den einen vektor als linearkombination des anderen darstellt.
also, linear unabhängig......
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Naja...ist mir zwar so klar, aber wir sollen das laut Prf eher immer alles mit Matrizen lösen, geht das denn hier überhaupt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
das geht auch immer:
das lgs:

ergibt in matrixschreibweise
die matrix auf zeilenstufenform bringen, fast fertig.
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Aber das geht doch garnicht in ZSF...??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
warum nicht?
edit: erzeugst nen paar nullzeilen....
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Oder mesist du so:
100
010
1-10
110

100
010
0-10
010

100
010
000
000

Dann hätten wir ZSTf und sehen, dass es l.u ist ...?
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Okay...aber in der VL wurden die Vektoren immer in die Zeilen geschriben, dass hatte mich da schon verwirrt - wann macht man das denn dann?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
du hast zwei skalare

das produkt einer 2x4 matrix mit einer 1x2 matrix ist nicht definiert.....
aber um zu sehen, dass die zeilen linear unabhängig sind, auch auf zeilendtufenform bringen und wenn die führenden einsen an verschiedenen stellen stehen sind sie lu.
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Achso...nagut.
Könntest du nochmal kurz überprüfuen, ob dises aussage soweit richtig ist:
Also wenn alle Vektoren die Form a,b,c,d mit a=b=c=d haben, dann habe ich die Vektoren v1=0,0,0,0 und v2=1,1,1,1 als basis genimmen. Die Dimension wäre dann ja 2...korrekt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
nee, nimm den nullvektor da mal raus, der hat nichts in irgendeiner basis verloren......
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
nagut - und dann reicht das nur den mit den Einsne...? GUt...danke!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
weisst du denn, warum der nullvektor niemals bestandteil einer basis ist?
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Wahrscheinlich, weil er nichts auspannen kann und somit auch nicht Bestandteil eines EZS ist - er liegt dann ja immer im Vektorraum grundsätzlich...

Und die Dim wäre dann 1?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
dim 1 ist richtig, der nullvektor hat für jedes skalar s ungleich null eine lösung mit s*(0,0,...,0)=0.
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Das stimmt zwar, aber ja nicht mehr in kombi mit meniem zweiten vektor (1,1,1,1) dann, da würde es ja trotzdem mit funktionieren...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
doch, a*(0,0,0,0)+b*(1,1,1,1) hat lösungen für (a,b) ungleich (0,0), ein oder mehrere skalare dürfen ja null werden, nur nicht alle......
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Oh...nagut. gut zu wissen - danke!
Tanii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
Auf die Gefahr hin das ich dich so langsam nerve, dürfte ich auch noch etwas zu einer ganz anderen Aufgabe fragen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen von Untervektorräumen
hau rei....
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