Untervektorräume aus lin. unabh. Vektoren ebenfalls lin. unah.

20.11.2009, 17:13

howdy

Untervektorräume aus lin. unabh. Vektoren ebenfalls lin. unah.

Hallo Matheboard, zuerst zitiere ich mal die Aufgabenstellung.

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2}, v_{3} \end{eqnarray*}$ Elemente eines Vektorraums V über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} \end{eqnarray*}$ sei linear unabhängig. Es gelte:
$\begin{eqnarray*} u_{1} := v_{1}, u_{2} := v_{1}+v_{2}, u_{3} := v_{1}+v_{2}+v_{3} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \{u_{1}, u_{2}, u_{3}\} \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear unabhängig ist.

Da $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2}, v_{3} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig, ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\lambda_{3}v_{3}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Da die Untervektorräume jeweils aus Teilmengen der lin. unabhängigen Vektoren bestehen, müssen diese doch zwangsweise auch linear unabhängig sein, also:
$\begin{eqnarray*} \mu_{1}u_{1}+\mu_{2}u_{2}+\mu_{3}u_{3} = 0 \mu_{1}(v_{1})+\mu_{2}(v_{1}+v_{2})+\mu_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3}) = 0 \Rightarrow \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=0 \end{eqnarray*}$
Kann ich das so zeigen?

20.11.2009, 17:20

lgrizu

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RE: Untervektorräume aus lin. unabh. Vektoren ebenfalls lin. unah.

Zitat:

Original von howdy

$\begin{eqnarray*} \mu_{1}u_{1}+\mu_{2}u_{2}+\mu_{3}u_{3} = 0 \mu_{1}(v_{1})+\mu_{2}(v_{1}+v_{2})+\mu_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3}) = 0 \Rightarrow \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=0 \end{eqnarray*}$
Kann ich das so zeigen?

da fehlt noch nen bissel, warum müssen denn $\begin{eqnarray*} \mu_i=0 \end{eqnarray*}$ sein?

20.11.2009, 17:24

howdy

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Da $\begin{eqnarray*} \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig sind, sind auch alle Teilmengen lin. unabhängig. Somit bilden weder $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ , noch $\begin{eqnarray*} v_{1}+v_{2} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} v_{1}+v_ {2}+v_{3} \end{eqnarray*}$ den Nullvektor ab. Somit gibt es auch für die Unterräume $\begin{eqnarray*} \{u_{1},u_{2},u_{3}\} \end{eqnarray*}$ nur die triviale Liniarkombination um den Nullvektor darzustellen, also sind sie lin. unabhängig.
Edit: latex gesetzt

20.11.2009, 19:33

lgrizu

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mit der gleichen begründung wären $\begin{eqnarray*} u_1=v_1+v_2, u_2=v_2-v_3, u_3=v_1+v_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, sind sie aber nicht.

20.11.2009, 20:46

howdy

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Da fiel mir nur ein, die Gleichung weiter umzuformen
$\begin{eqnarray*} \mu_{1}u_{1}+\mu_{2}u_{2}+\mu_{3}u_{3} = 0 \mu_{1}(v_{1})+\mu_{2}(v_{1}+v_{2})+\mu_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3}) = 0 \Rightarrow (\mu_{1}+\mu_{2}+\mu_{3})v_{1}+(\mu_{2}+\mu_{3})v_{2}+\mu_{3}v_{3}=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \{v_{1},v_{2},v_{3}\} \end{eqnarray*}$ linear unabghängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu_{i} = 0 \end{eqnarray*}$

Ansonsten habe ich mal schnell auf dem Blatt Papier gezeigt:
http://img257.imageshack.us/i/moep.png/

20.11.2009, 20:56

lgrizu

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