Aus Kern und Bild eine lineare Abbildung bestimmen

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20.11.2009, 20:39	Schieri	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Kern und Bild eine lineare Abbildung bestimmen Gegeben ist folgende Frage: (a) Bestimmen Sie je eine Basis von Kern und Bild der folgenden Abbildung: f :R3 -> R3 : f(x,y,z)=(x+2y+3z,4x+5y+6z,7x+8y+9z) (b) Finden Sie eine lineare Abbildung f : R3 --> R3 mit Kern f = span{(1, 2, 3), (1, 1, 1)} (c) Finden Sie eine lineare Abbildung f : R3 -> R3 mit Bild f = span{(1, -2, 1)} (d) Finden Sie einen nicht trivialen Endomorphismus f mit Kern f = Bild f . Begründen Sie Ihre Antworten. Auf (a) komme ich noch. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1x + 2y + 3z \\ 4x + 5y + 6z \\ 7x + 8y + 9z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich prüfe ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind, sind sie nicht, also eliminier ich den dritten Vektor. Und hab als eine Basis vom Bild f $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Den Kern berechne ich in dem ich das System dem Nullvektor gleichsetze, komme dann am Ende auf eine Basis vom Kern mit $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich das mit dem Dimensionssatz überprüfe, haut das auch soweit hin. Kein Problem. Für (b) hab ich eine Idee, bin aber äußerst unsicher, ob das denn so hinhauen kann. Ich dachte mir, dass ich so herangehe, dass f(0,0,0) = x (1,2,3) + y (1,1,1). Um in der ersten Zeile der Matrix auf 0 zu kommen, brauch ich x -y, in der 2. x - 2y , in der 3. x -3y. Ich würde auf eine Funktion: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x-y \\ x-2y \\ x-3y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kommen. Kann man das so machen? Glaube fast nicht. Für (c) hab ich einen Lösungsweg. Das ist nicht das Problem Für (d) bräuchte ich einen Ansatz. Komm damit nicht klar.
20.11.2009, 22:19	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre auch für tips dankbar wie sowas geht
21.11.2009, 17:04	KingKain	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, die garnüscht könner aus Jena, da sin wer dabei^^ ich blick das thema momentan überhaupt nich. wär schön wenn du noch deine lösung von c reinsetzten könntest und das vlt en bissl erklärst
21.11.2009, 21:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
b,c,d) Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen benutzen! Bei d) insbesondere beachte dass aufgrund der Bedingung die Dimension des Raumes durch 2 teilbar sein muss
22.11.2009, 19:11	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
also das müssteste nochmla genauer ausführen oô
22.11.2009, 19:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Fragestellung. Fall i): Der Existenz und Eindeutigkeitssatz ist bekannt: Dann lies ihn nochmal nach Fall ii): Er ist nicht bekannt: Dann sag mir das doch gleich..
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22.11.2009, 19:46	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann gehen wir zu fall 2 über: satz ist nicht bekannt
22.11.2009, 19:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay... Naja: Eine lineare Abbildung ist bereits bestimmt durch die Bilder von Basisvektoren. Wähle bei b,c) die Basis {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, -2, 1)}. Definiere die Bilder dieser Basis geschickt und du hast mit einer Abbildung sowohl b als auch c gelöst
22.11.2009, 22:01	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
echt beeindruckend wie schnell du sowas siehst bin zwar auf noch nichts gekommen, ich probiers aber weiter
22.11.2009, 22:14	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, hab ne lösung, f(x,y,z)=(x,-2x,x) passt das?
22.11.2009, 22:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist eine Lösung für c)
22.11.2009, 22:21	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man für b und c nicht dieselbe lösung nehmen?
22.11.2009, 22:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann, deine Abbildung ist aber nur eine Lösung für c)
22.11.2009, 22:30	Zep	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ok, dann hätte ich für b nurnoch f(x,y,z)= (2y-z, -2y, z) rausbekommen, sieht aber so seltsam aus
22.11.2009, 22:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist auch falsch. Falls du es partout nicht verstehst und auch meinen Ansatz von vorhin nicht verfolgen willst kannst du immer noch ein Gleichungssystem lösen. Nehme an $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = (ax+by+cz, dx+ey+fz,gx+hy+iz) \end{eqnarray}$ , und setze die beiden Vektoren ein die 0 ergeben sollen.
23.11.2009, 00:09	Betzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wenn ich die dann in das Gleichungssystem einsetze, meine zwei Vektoren, was soll da denn für ein Ergebnis rauskommen? Ist dann (c,f,i) wichtig? Hoffe du bist noch wach

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