Kann ein K-Vektorraum mehrere Basen haben?

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Sunflower17 Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ein K-Vektorraum mehrere Basen haben?
Guten Abend smile ,
kann mir von euch jemand sagen ob ein K-Vektorraum V mehr als eine Basis haben kann?

mfg Sabrina
LLCoolDave Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Frage des Könnens, sondern grundsätzlich (ausser in sehr degenerierten Fällen eines Vektorraums mit 2 Elementen) der Fall. Tatsächlich spielen Basiswechsel in der Linearen Algebra 1 und 2 sehr zentrale Rollen: Viele komplizierte Dinge sehen deutlich einfacher aus, wenn man sie in der richtigen Basis betrachtet.

Desweiteren kann jedes Element (ausser dem 0-Vektor) des Vektorraums in einer Basis auftauchen. Schau dir vielleicht bei Gelgenheit mal den Austauschsatz von Steiniz an.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann ein K-Vektorraum mehrere Basen haben?
ja, aber jede basis kann durch transformation in eine andere überführt werden.
betrachten wir mal den
da ist eine basis zum beispiel
eine andere wäre zum beispiel
Sunflower17 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
ja, aber jede basis kann durch transformation in eine andere überführt werden.
betrachten wir mal den
da ist eine basis zum beispiel
eine andere wäre zum beispiel


mhnm wären das denn 2 Basen für die selben Vektoren? Könntest du mir vlt. sagen wie du darauf gekommen bist?

lG Sabrina
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

drei linear unabhängige vektoren die ein erzeugendensystem bilden...
Sunflower17 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke =)

Wie finde ich denn am schnellsten linear unabhängige Vektoren? Ich bin da noch nicht so geschult und würde immer erst mal eine Matrix aufstellen...
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

matrix aufstellen ist doch gar nicht schlecht, am besten in zeilenstufenform...
Sunflower17 Auf diesen Beitrag antworten »

klar wäre das nicht verkehrt ;D
aber gibt es keine schnelleren Weg?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

doch, mit nen bisschen übung kann man das schnell machen, man entwickelt da ne intuition, man kann auch überlegen, wann vektoren lu sind, zum beispiel die null immer um einen eintrag "wandern" lassen, oder an jeder stelle nur genau einen eintrag, im zweifelsfall halt die kanonsche basis...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu jedem Automorphismus eines Vektorraums gehört (bezüglich einer gegebenen Basis) eine reguläre Matrix , d.h. ist invertierbar (d.h. ) , und .
bzw. bildet eine beliebige Basis von auf eine Basis von ab. Matrizen zu benutzen ist also wirklich eine prima Idee.
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