Vektorraum ist keine Vereinigung von Unterräumen

21.11.2009, 11:34	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum ist keine Vereinigung von Unterräumen Hallo Freunde der Mathematik =) ich hab da ein kleines Problem. Und zwar sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen und ich soll zeigen dass a) V ist nicht Vereinigung von zwei echten Unterräumen von V b) V ist nicht Vereinigung von endlich vielen Unterräumen von V An sich versteh ich das Problem aber weis nicht sorecht wie ich das mathematisch zeigen kann/soll. So hab ich mir jetz gedacht sind die Unterräume ja bezüglich der addition und multiplikation abgeschlossen und deshalb kann die vereinigung der unterräume doch nur V sein wenn einer der beiden Unterräume V wäre (womit dieser kann wiederum kein echter Unterraum mehr ist) odre man unendlich viele Unterräume betrachtet was ja auch nicht der Fall sein darf. Somit findet man immer eine reelle Zahl die auserhalb der Unterräume liegt aber immer noch Element V ist.
21.11.2009, 13:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es ja fast schon gesagt. Du solltest beweisen: Die Vereinigung von Untervektorräumen ist dann und nur dann ein Vektorraum, wenn einer in dem anderen enthalten ist. Daraus folgt die Behauptung sofort.
21.11.2009, 13:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Beispiel von $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sieht man recht gut, warum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nicht die Vereinigung endlich vieler echter Unterräume sein kann. Jeder echte Unterraum $\begin{eqnarray} U\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist der Nullraum oder eine Gerade durch den Nullpunkt. Endlich viele Geraden überdecken offensichtlich nicht die ganze Ebene. Ein wenig Vorsicht ist angebracht, denn unendlich viele Geraden tun's dann doch. (Man findet nicht eine reele Zahl in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , sondern einen Vektor, der in keinem echten Unterraum enthalten ist.) Weil die Vereinigung von Untervektorräumen $\begin{eqnarray} U_1\cup ...\cup U_n \end{eqnarray}$ im allgemeinen kein Untervektorraum ist, hat man die Summe $\begin{eqnarray} U_1+...+U_n=\cap \{U \| \forall i\in\{1,...n\} : U_i\subset U\subset V\} \end{eqnarray}$ erfunden.
21.11.2009, 17:22	TomTomGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja tut mir leid das mit der reellen zahl war bisschen blöd ausgedrückt verzeiht mir naja trotzdem denke für eure kommentare haben mir geholfen habs jetz kappiert echt super euer matheboard greetz an alle auf noch viele weitere erfolgreiche zusammenarbeiten liebe Grüße Tom

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