Zyklische Gruppen

21.11.2009, 14:42

St. Peter

Zyklische Gruppen

Hallo,

ich lese grad im Algebra I Skript und bin gerade bei den zyklischen (Unter-)Gruppen angelangt. So, dann habe ich folgende Definition:

"Eine Gruppe G heißt zyklisch genau dann, wenn ein Element $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} G=[g^n | n \in \mathbb Z ] \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall sagt man, dass g die zyklische Gruppe G erzeugt."

So, für mich bedeutet das, dass es quasi ein Elemet z.B. 2 gibt, welches eine Gruppe bestehend aus deren Potenzen erzeugt, also $\begin{eqnarray*} G=[ 2^0, 2^1, 2^2, 2^3,...] \end{eqnarray*}$

Dann kommt etwas später ein Beispiel:

"Die von der Zahl 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ erzeugte zyklische Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ enthält alle geraden Zahlen und wir bezeichnen diese Untergruppe mit $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z = [2n | n \in \mathbb Z] \end{eqnarray*}$ "

Aber warum ist das so? Es sind doch ncht alle geraden Zahlen in der Potenz von 2 vorhanden...

21.11.2009, 15:22

Seren

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Das bedeutet nur, dass du jede gerade Zahl als Linearkombination der Potenzen von 2 schreiben kannst.
z.b. $\begin{eqnarray*} 6 = 2^2 +2^1 \end{eqnarray*}$

21.11.2009, 15:34

St. Peter

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Hmm, also wäre z.B. $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z = [0,3,6,9,12,...] \end{eqnarray*}$ , dann muss man doch mehr oder weniger nicht die Potenzen betrachten, sondern eher die Vielfachheit des Elements g, oder?

Woran sehe ich eigtl, ob eine Gruppe zyklisch ist?

21.11.2009, 15:41

LLCoolDave

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Die Verwirrung kommt hier zu Stande, da die Gruppenoperation im allgemeinen, abstrakten in der Regel als Multiplikation geschrieben wird, während die Gruppenoperation, die bei Z betrachtet wird die Addition ist. Folglich entspricht das abstrakte $\begin{eqnarray*} g^n \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} ng \end{eqnarray*}$ .

21.11.2009, 15:45

Seren

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Zitat:

Original von St. Peter
Hmm, also wäre z.B. $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z = [0,3,6,9,12,...] \end{eqnarray*}$ , dann muss man doch mehr oder weniger nicht die Potenzen betrachten, sondern eher die Vielfachheit des Elements g, oder?

Nein. Also deine Basis für diese Gruppe ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} = \{ 3^0, 3^1,3^2 ... \} \end{eqnarray*}$ . Diese bildet ein Erzeugendensystem, mit dem du jedes Element aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ erzeugen kannst.
Also hast du für $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ folgende Darstellung:
$\begin{eqnarray*} g= \sum_{k=0}^n a_k \cdot 3^k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von St. Peter
Woran sehe ich eigtl, ob eine Gruppe zyklisch ist?

Wenn es ein solches Element gibt, dass die gesamte Gruppe erzeugt. Anders gesagt: wenn du eine Basis aus Potenzen des erzeugenden Elementen findest, die als Linearkombination alle Elemente deiner Gruppe erzeugen.

21.11.2009, 15:53

LLCoolDave

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Nein, St.Peter hat schon recht, $\begin{eqnarray*} 3\mathbb{Z} = \{...,-6,-3,0,3,6,9,...\} \end{eqnarray*}$ . Beachte dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ eine additive Gruppe ist, mit der Multiplikation aber keine Gruppe bildet (was ist denn z.B. das multiplikative Inverse zu 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ }

Ausserdem würde ich mit Begriffen wie Basis im Zusammenhang mit Gruppen aufpassen.

21.11.2009, 15:56

St. Peter

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Aber $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ habe ich richtig gebildet, ja?

21.11.2009, 15:59

St. Peter

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Das multiplikative Inverse zu 2 müsste 0,5 sein, denn 2*0,5=1 und 1 ist neutrales Element bzgl. Multiplikation, aber 0,5 ist nicht in Z enthalten.

21.11.2009, 16:00

MasterOfTheNumbers

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Zitat:

Eine Gruppe G heißt zyklisch genau dann, wenn ein Element $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ existiert, so dass gilt
$\begin{eqnarray*} G=\{ g^n | n \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ bei multiplikativer Schreibweise, bzw
$\begin{eqnarray*} G=\{ gn | n \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ bei additiver Schreibweise.

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nur eine Gruppe bezüglich der Addition ist, macht hier auch nur die additive Schreibweise Sinn, also müssen die Vielfachen betrachtet werden.

Übrigens: Viele Bücher benutzen die additive Schreibweie nur bei kommutativen Gruppen.

Zitat:

Original von St. Peter
Woran sehe ich eigtl, ob eine Gruppe zyklisch ist?

Wenn es ein Element gibt, dessen Ordnung der Gruppenordnung entspricht.
Dies ist z.B. bei allen Gruppen mit Primzahlordnung der Fall (Überleg mal warum...)

21.11.2009, 16:04

Seren

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Oh ja, ihr habt recht .. unglücklich

21.11.2009, 16:16

St. Peter

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Zitat:

Original von MasterOfTheNumbers

Wenn es ein Element gibt, dessen Ordnung der Gruppenordnung entspricht.
Dies ist z.B. bei allen Gruppen mit Primzahlordnung der Fall (Überleg mal warum...)

Ok, betrachten wir $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ . Diese Menge hat die Ordnung 7. Wähle ich nun: [3], dann gilt:

$\begin{eqnarray*} [3]^1,...,[3]^7 = [0] \end{eqnarray*}$ Also quasi das neutrale Element!

Somit gilt: ord [3]=7=| $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ |

Aber wenn ich ehrlich bin, weiss ich net, warum es gerade für Primzahlen gilt >.<

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