Körpererweiterungen

21.11.2009, 16:01	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterungen Guten Tag miteinander, Ich habe einige Fragen zu meinen Aufgaben und hoffe hier den entscheidenden Tipp zu bekommen: 1.a)Zeigen sie: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3,i)=\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3+i) \end{eqnarray}$ b)Zeigen sie: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3,...,\sqrt{n})=\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3+...+\sqrt{n}) \end{eqnarray}$ 1a) Gibt es einen einfacheren Weg, als zu untersuchen, ob $\begin{eqnarray} \sqrt2,\sqrt3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3+i) \end{eqnarray}$ liegen? Ich wäre da jetzt so vorgegangen: Ich potenziere, multipliziere und addiere $\begin{eqnarray} (\sqrt2+\sqrt3+i) \end{eqnarray}$ solange, bis ich sehe, dass eines der Elemente da definitiv drin liegt. Oder gibt es einen einfacheren Weg? Ich hab so das Gefühl, dass das so ein bisschen ist, wie mit Kanonen auf Spatzen schießen. Vor allem wird diese Methode bei der b leicht problematisch. 2.Bestimmen sie der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} x^4 +2x^2 -2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und dessen Grad über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . 2) Ich habe ein bisschen gesucht und gefunden, dass man durch die Faktorisierung $\begin{eqnarray} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{eqnarray}$ die Körpererweiterung herausbekommt und damit zum Zerfällungskörper kommt. Man macht "einfach" einen Koeffizientenvergleich und schon sollte man fertig sein - aber bei mir kommt dabei nur Mist raus. Gibt es evtl. noch eine andere Methode, wie man das macht? Ich hoffe mir ist noch zu helfen Seren
21.11.2009, 18:00	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
anyone?
21.11.2009, 18:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, steht dir denn schon Galoistheorie zur Verfügung? Falls ja untersuche welche Elemente der Galoisgruppe die Summe gleich lassen. Per Galoiskorrespondenz bekommst du dann die Aussage. Bei 2.) rechne zuerst einmal die Nullstellen aus(Substitution u=x^2 liefert quadratische Gleichung)
21.11.2009, 19:36	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
1.Galoistheorie haben wir nur angerissen, aber nicht im Zusammhang von Körpererweiterungen. 2. Das habe ich schon, es kommen 2 komplexe und 2 reele Nullstellen raus. Wie gehe ich damit um?
21.11.2009, 19:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh 1.) könnte man vllt. noch über den Beweis des Satzes vom primitiven Element lösen. Kennst du den wenigstens? (Was ist den Galoistheorie ohne Körpererweiterungen?!) 2.) Danke dass du diese auch angibst, jetzt muss ich selbst rechnen... Okay die Nullstellen sind also $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\pm\sqrt 3 - 1} \end{eqnarray}$ . Der Zerfällungskörper ist ja gerade der kleinste Körper der diese Nullstellen enthält. Also adjungieren wir die einfach mal an $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ran. Es reicht dafür 2 dieser Nullstellen zu adjungieren(warum?). Dann hast du den ZK bestimmt. Den Grad bekommst du über den Gradsatz
21.11.2009, 20:04	Seren	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Galoistheorie hatten wir am Anfang des Semesters im Zusammenhang im Lösen von Gleichungen 3.ten und höheren Grades. Der Begriff "Galois Gruppe" ist bei uns noch nie gefallen. Satz vom primitiven Element ist mir geläufig, aber anscheinend nicht so, dass ich ihn hier anwenden könnte 2. Ich wollte dir die Nullstellen grade aufschreiben, habe meinen Block gesucht. Und warum reicht es 2 Nullstellen zu adjungieren? Ich versuche grade das durchzurechnen, komme aber nicht auf das ursprüngtliche Polynom, weil sich immer wieder eine $\begin{eqnarray} \sqrt3 \end{eqnarray}$ einschleicht
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21.11.2009, 20:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal den Beweis des Satzes vom primiviten Element an. Ich bin mir nicht sicher ob das funktioniert, aber zumindest mal schauen könnte man ja (Meine ursprüngliche Idee find ich immer noch am schönsten, aber wenn ihr keine Galoisgruppen hattet... ) 2. Die anderen beiden sind nur das negative, -1 ist aber bereits im Körper. Also lassen die sich darstellen durch die beiden die du adjungierst. Nennen wir die beiden Elemente die wir mal a und b. Zum Grad rechnest du einfach ein wenig. Beweise dass du wenn du ein Element(z.b a) adjungierst sich der Grad 4 ergibt. Jetzt ist das Minimalpolynom vom anderen Element ja gerade (x^4-2x^2-2)/(x-a)(x+a) Also ergibt sich welcher Grad?
22.11.2009, 19:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt bei solchen Aufgaben manchmal trickreiche elementare Wege. Beachte, dass du in $\begin{eqnarray} \mathbb Q\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\operatorname i\right) \end{eqnarray}$ nicht nur potenzieren und addieren, sondern auch dividieren darfst. Zeige der Reihe nach: $\begin{eqnarray} \sqrt{6}\in\mathbb Q\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\operatorname i\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3}-\operatorname i\in\mathbb Q\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\operatorname i\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3},\operatorname i\in\mathbb Q\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\operatorname i\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2},\sqrt{3}\in\mathbb Q\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\operatorname i\right) \end{eqnarray}$ .

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