Basis, Dimension

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21.11.2009, 18:50	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis, Dimension Hallo Ich sitze schon jetzt eine ganze Weile an folgender Aufgabe: Es seien a=(1,0,2), b=(2,0,1),c=(0,2,0), d=(2,2,2) Elemente der Vekorräume $\begin{eqnarray} V_1=\mathbb Z_3^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_2=\mathbb Z_5^3 \end{eqnarray}$ . Es seien U=Span(a,b) und W=Span(c,d) Unterräume von $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ , i=1,2. a) Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräume U,W,U+W, $\begin{eqnarray} U\cap W \end{eqnarray}$ von V, indem Sie jeweils eine Basis angeben. b) Wählen Sie aus den Vektoren a,b,c und d jeweils eine Basis $\begin{eqnarray} B_i \end{eqnarray}$ , i=1,2 des Vektorraums $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ aus und geben Sie die Koordinatendarstellung eines beliebigen Vektors $\begin{eqnarray} v =(x,y,z) \in V_i \end{eqnarray}$ bezüglich dieser Basis an. Zu a) Für beide Vekorräume habe ich bereits U,W und U+W bestimmt also: $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ : U hat Dimension 1, Basis ist b W hat Dimension 2, Basis ist c,d U+W hat Dimension 3, Basis ist b,c,d $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray}$ : U hat Dimension 2, Basis ist a,b W hat Dimension 2, Basis ist c,d U+W hat Dimension 4, Basis ist a,b,c,d Ist das richtig? Bei $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ habe ich meine Schwierigkeiten. Ich weiß das ich bei $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ b mit c,d gleichsetzen und gucken muss für welche skalare dies gilt. Hier würde ich aber keine Skalare finden, oder? also wäre hier $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ leer oder, also ist die Dimension 0??? bei $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray}$ muss ich a,b mit c,d gleichsetzen und gucken für welche Skalare dies gilt. Aber hier habe ich Probleme. bei b) Ich weiß nicht, wie ich eine Basis wählen soll. LG estrella28
21.11.2009, 18:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Dimensionssatz $\begin{eqnarray} dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U \cap W) \end{eqnarray}$ sollte hier weiterhelfen.
21.11.2009, 19:00	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Den hatten wir noch nicht in der Vorlesung!! Ich glaube den dürfen wir dann auch nicht benutzen! Aber rein theoretisch hieße das ja bei beiden, dass die Dimension 0 ist. Das heißt, da ich ja den Satz noch nicht hatte, kann ich ja einfach sagen, dass das Gleichungssystem keine Lösung hatte, weswegen $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ leer ist, also Dimension 0, oder???
21.11.2009, 19:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U+W\subset V_2=\mathbb Z_5^3 \end{eqnarray}$ kann als UVR eines 3-dimensionalen VR höchstens 3-dimensional sein.
21.11.2009, 19:05	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, aber ich finde keine Lösung, sodass a,b,c,d linear abhängig
21.11.2009, 19:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kann sein, ist aber trotzdem ohne weitere Rechnung richtig. 4 Vektoren können nicht l.u. sein. Zu Aufgabe b) würde ich jeweils 3 linear unabhängige Vektoren auswählen, die sind eine Basis.
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21.11.2009, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht mit den Durchschnitten. Ich bin noch nicht ganz sicher, ob sie die Dimension 0 haben. Wie hast du die Dimension der Summenräume bestimmt ? (Hoffentlich nicht so: $\begin{eqnarray} dim(U+W)=dim(U)+dim(W) \end{eqnarray}$ , das wäre falsch, wie der Dimensionssatz zeigt.)
21.11.2009, 19:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5^3 \end{eqnarray}$ gerechnet und die folgende Linearkombination gefunden: $\begin{eqnarray} 4\cdot (1,0,2)+4\cdot (2,0,1)+1\cdot(0,2,0)=(2,2,2) \end{eqnarray}$
22.11.2009, 11:07	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ich habe jetzt in $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ Für U+W habe ich, dass die Vektoren b,c,d l.u. sind, sodass sie eine Basis bilden und somit hat U+w die Dimension 3. Für $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ habe ich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \lambda b = \mu_1 c + \mu d \end{eqnarray}$ Diese hat keine Lösung, daher gibt es keinen Vektor, der sowohl in U als auch in W enthalten ist. Daher ist der Schnitt leer, und die Dimension ist 0. Für $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray}$ : Für U+W sind Vektoren a,b,c l.u., sodass sie eine Basis bilden und somit hat U+W die Dimension 3. Für $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ habe ich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \lambda_1 a + \lambda_2 b=\mu_1 c + \mu_2 d \end{eqnarray}$ Ich finde keine Lösung für diese Gleichung, aber nach diesem Dimensionsatz, den wir noch nicht hatten und bestimmt nicht benutzen dürfen, hätte $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray*}$ die Dimension 1, also muss die Gleichung eine Lösunge haben. Da bräuchte ich unbedingt noch hilfe!!
22.11.2009, 15:37	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn da keiner helfen? Ich habe hin und her überlegt, mir fehlt nur noch dieses $\begin{eqnarray} U \cap W \end{eqnarray}$ , dann hätte ich die Aufgabe komplett Außerdem wäre es auch schön zu wissen, ob meine Berechnungen oben richtig sind.
22.11.2009, 17:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Vektorräume $\begin{eqnarray} V_1,V_2 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} dim(U+W)=3\Rightarrow dim(U\cap W)=0 \end{eqnarray}$ (Dimensionssatz). Direkte Berechnung des Durchschnitts $\begin{eqnarray} U\cap W\subset V_1 \end{eqnarray}$ könnte so aussehen: $\begin{eqnarray} U=\{ \alpha a+\beta b\}, W=\{ \gamma c+\delta d\}\Rightarrow U\cap W=\{x\in V_1\|x=\alpha a+\beta b=\gamma c+\delta d\} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} \alpha +2\beta\\ 0 \\ 2\alpha+\beta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\delta\\ 2\gamma+2\delta \\ 2\delta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ die Lösungen $\begin{eqnarray} \alpha = \beta \end{eqnarray}$ , dafür ist nun $\begin{eqnarray} \alpha a+ \beta b=\alpha a +\alpha b= \alpha (a+b) =0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} U\cap W=0 \end{eqnarray}$ (ohne den Dimensionssatz zu benutzen).
22.11.2009, 17:34	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich habe bei $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ herausgefunden, dass U=Span(b) ist, daher reicht doch da: $\begin{eqnarray} \lambda (2,0,1)=\mu_1 (0,2,0) + \mu_2 (2,2,2) \end{eqnarray}$ oder? Das hat aber keine Lösung. Ich habe nur ein Problem bei $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray*}$ , da ich wie gesagt obige gleichung nicht lösen kann.
22.11.2009, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Die Rechnung hätte ich mir schenken können. Im Prinzip sollte das aber für $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray}$ genau so gehen. (Ich probier's mal.) HEUREKA, ich hab's. In $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5^3 \end{eqnarray}$ ergibt sich als Lösung des LGS $\begin{eqnarray} \alpha=\beta=\gamma=-\delta=4\delta \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in U\cap W \end{eqnarray}$ . Das paßt auch zum Dimensionssatz $\begin{eqnarray} 3=dim(U+W)=dim U + dim W -dim (U\cap W)=2+2-1 \end{eqnarray}$ .
23.11.2009, 17:22	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Super, vielen dank!!! Aber wie kommst du nun auf den Vektor???
23.11.2009, 19:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so wie ich es in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ gemacht habe, mache ich es auch in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ , d.h. ich löse das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 3 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (3 mal die 1. zu 3. Zeile addieren, dann 3. von 1. Zeile subtrahieren) ergibt $\begin{eqnarray} \alpha=\beta=\gamma=-\delta \end{eqnarray}$ , und daraus folgt $\begin{eqnarray} x=\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + 4\alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\alpha \\ 0 \\ 3\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\alpha \\ 10\alpha \\ 8\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} \alpha=2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein passender Vektor.
23.11.2009, 20:29	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber müssen nicht alle koeffizienten identisch sein, warum ist der letzte dann 4 *alpha????
23.11.2009, 20:37	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
hat sich erledigt, ist ja klar, wir sind ja im Z5 körper Vielen Dank!!!

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