Berechnen von Skalarprodukten

21.11.2009, 21:06

Physinetz

Berechnen von Skalarprodukten

Grüß Gott miteinander,

hänge an folgender Aufgabe:

Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle *|* \rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3\in V \end{eqnarray*}$ so,

dass
$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_1 \rangle=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_2 \rangle=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_3 \rangle=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_2|b_2 \rangle=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_2|b_3 \rangle=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_3|b_3 \rangle=3 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \langle b_1+b_2+b_3| \alpha b_1-2b_3-b_2 \rangle=3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hmm also irgendwie erscheint mir die Aufgabe merkwürdig :-D

Hätte ich hier Vektoren(im Sinne von Pfeilen) dann würde ich glaube ich zurecht kommen. Dann wäre z.B. :

$\begin{eqnarray*} \langle a|b \rangle=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3 \end{eqnarray*}$ für einen Vektor im R³

Dann könnte ich das so für alle machen und dann ein großes LGS veranstalten...und so die einzelnen Komponenten berechnen ...

Aber hier bin ich irgendwie ratlos, oder sind hier mit $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ die Komponenten eines Vektors b gemeint?

Vielleicht kann mir mal jemand auf die Sprünge helfen...besten Dank an Alle (auch wenn der Dank meistens Richtung Kiste geht :-D )

21.11.2009, 21:11

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn da steht $\begin{eqnarray*} b_i \in V \end{eqnarray*}$ dann sind damit ganze Vektoren aus dem Vektorraum gemeint. Deine Idee ist richtig, so hätte ich es auch gemacht - ein großes lineares Gleichungssystem austellen und auflösen. Ist zwar nicht so schön, aber so ist AGLA nunmal Augenzwinkern

21.11.2009, 21:11

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Dank Augenzwinkern

Bei dieser Aufgabe geht es darum dass das Skalarprodukt eine Bilineare Abbildung ist, d.h. es ist linear in beiden Komponenten.
Ziehe also erstmal das Skalarprodukt links auseinander und dann rechts. Dann kannst du die Skalare vor den b_i rausziehen.
Insgesamt solltest du 9 Summanden erhalten

edit: Euer großes Gleichungssystem ist dann übrigens genau eine Gleichung mit einer unbekannten Augenzwinkern

21.11.2009, 21:19

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja es sind "ganze" Vektoren, ich weiß jedoch nicht mit wievielen Komponenten, dass ist das Problem...?

Puh bilineare Abbildung ist mir neu..., die sind echt witzig an der UNI :-D ...

Zitat:

Ziehe also erstmal das Skalarprodukt links auseinander und dann rechts.

Was meinst du damit, welches soll man "auseinanderziehen" ?

21.11.2009, 21:22

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay bilinear musst du noch nicht gehört haben.
Wichtig ist die Eigenschaft die bilinear beschreibt, und die habt ihr bestimmt schon gehabt.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \langle a + b, c\rangle = \langle a, c\rangle + \langle b,c\rangle \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \langle \alpha a, b\rangle = \alpha \langle a, b\rangle \end{eqnarray*}$ und genauso für die zweite Komponente.
Mit diesen Eigenschaften kannst du das Skalarprodukt zurückführen auf die Werte die schon gegeben sind

22.11.2009, 09:39

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme auf folgende Summanden wenn ich

$\begin{eqnarray*} \langle b_1+b_2+b_3| \alpha b_1-2b_3-b_2 \rangle=3 \end{eqnarray*}$ aufsplitte:

$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_1 \rangle * \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_2 \rangle * \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_1|b_3 \rangle * \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle b_3|b_1 \rangle * -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_3|b_2 \rangle * -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_3|b_3 \rangle * -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle b_2|b_1 \rangle * -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_2|b_2 \rangle * -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b_2|b_3 \rangle * -1 \end{eqnarray*}$

Nun setze ich einfach die Werte von oben ein und summiere dann auf (mit oberster Zeile beginnend) :

$\begin{eqnarray*} \alpha*1+\alpha*2+\alpha*0 - 2*0-2*2-2*3-1*2-1*2-1*2= \end{eqnarray*}$ 3*\alpha-16 dürfte Endergebnis sein.

Wenn ich nun berechnen soll: $\begin{eqnarray*} | b_1+b_2+b_3 |² \end{eqnarray*}$

Würde ich machen: $\begin{eqnarray*} | x | = \sqrt{ \langle x|x \rangle} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass wenn im Betrag eine Summe steht, ich es genau wie oben so aufschreiben kann, dass ich jeden Summand mit sich Skalarprodukt nehme und alles addiere...

Hoffe das stimmt jetzt alles?

Beste Grüße und schönen Sonntag

$\begin{eqnarray*} | b_1+b_2+b_3 |²= \sqrt{ \langle b_1|b_1 \rangle+\langle b_2|b_2 \rangle+\langle b_3|b_3 \rangle}^2 =\langle b_1|b_1 \rangle+\langle b_2|b_2 \rangle+\langle b_3|b_3 \rangle \end{eqnarray*}$

und komme auf den Wert 6 . Hier ist nur die Frage ob ich das so machen darf, dass ich jeden Summanden mit sich selbst Skalarprodukt nehme und dann addieren, oder ob ich die Summanden auch noch verknüpfen muss...

Beste Grüße Physinetz

Schönen grauen Sonntag ;-)

22.11.2009, 10:00

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung musst du natürlich noch lösen Augenzwinkern

Das mit dem Betrag stimmt so nicht.
Du musst $\begin{eqnarray*} \langle b_1+b_2+b_3,b_1+b_2+b_3\rangle \end{eqnarray*}$ berechnen, streng nach Definition!

22.11.2009, 11:21

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Gleichung musst du natürlich noch lösen Augenzwinkern

Meinst du diese:

$\begin{eqnarray*} [latex]\langle b_1+b_2+b_3| \alpha b_1-2b_3-b_2 \rangle=3 \end{eqnarray*}$ [/latex]

Habe da einen Fehler, das müsste nur heißen:

Berechnen Sie:

$\begin{eqnarray*} [latex]\langle b_1+b_2+b_3| \alpha b_1-2b_3-b_2 \rangle \end{eqnarray*}$ [/latex]

Also keine Gleichung....dann stimmt das Ergebnis ja von oben , in Abhängigkeit von alpha.

Bei $\begin{eqnarray*} | b_1+b_2+b_3 |² \end{eqnarray*}$ muss ich dann praktisch das zwischen den Betragsstrichen als mein x Ansehen :

$\begin{eqnarray*} | x |² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \langle x|x \rangle \end{eqnarray*}$

Also hier wie du geschrieben hast ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \langle b_1+b_2+b_3 | b_1+b_2+b_3 \rangle \end{eqnarray*}$

Nun das berechnen wieder mit 9 Summanden, bekomme ich raus: 3+6+5=14

Das dürfte stimmen...

22.11.2009, 11:24

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz überflogen komme ich auch auf 14 Augenzwinkern

22.11.2009, 12:53

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Super Kiste, danke^^

echt krass dass du dich da so reinhaust, aber für dich dürfte es ja so wie es den anschein macht eh alles ein klax sein...

studierst du eigentlich mathe oder sowas?

Neue Frage »

Antworten »

Berechnen von Skalarprodukten

Verwandte Themen