Gruppenhomomorphismus |
| 22.11.2009, 13:43 | Jonsy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppenhomomorphismus Ich komme bei einer aufgabe nicht weiter und zwar Sei H eine gruppe mit 14 elementen und hom:<pi> --> H ein nichttrivialer gruppenhomomorphismus, bestimmen sie Kern(hom). (pi = (3589)°(147)) Ich weiß nicht genau was ich hier machen soll, ich habe die sache mit dem kern irgendwie nicht ganz verstanden 
Was ich jetzt gemacht habe, ist die ordnung von pi auszurechnen, diese ist 12, aber wie ich weiter vorgehen soll weiß ich leider nicht. |
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| 22.11.2009, 14:00 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, aus dem Satz von Lagrange und dem Homomorphiesatz folgt doch dass 12 = |Ker(Hom)|*|Im(Hom)| und |Im(Hom)| ein Teiler von |H| ist. Jetzt kannst du die Ordnungen ausrechnen, dann ist es nicht mehr weit zum bestimmen des Kerns(Erinnerung: In einer zyklischen Gruppe gibt es genau eine Untergruppe einer bestimmten Ordnung, welche die Ordnung der Gruppe teilen muss) |
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| 22.11.2009, 14:18 | Jonsy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schonmal danke für die schnelle antwort 
Aber was genau bedeutet Im(hom)? Sorry ich bin recht schwach in der linearen algebra
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| 22.11.2009, 14:38 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist das Bild, Im für Image |
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| 22.11.2009, 15:34 | ue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt es dass ich nach dieser Formel: 12 = |Ker(Hom)|*|Im(Hom)| und |Im(Hom)| ein Teiler von |H| |H|=14 => |Im(Hom)| = 14 oder 7 oder 2 oder 1 in die andere Formel eingestzt => |Im(Hom)| = 2 und |Kern(Hom)| = 6 oder |Im(Hom)| = 1 und |Kern(Hom)| = 12 ,da aber nichttrivialer Gruppenhomomorphismus muss es mehr als ein |Im(Hom)| geben also ist |Im(Hom)| = 2 und |Kern(Hom)| = 6 die einzige Lösung. Aber wie kann ich jetzt den Kern genau angeben oder ist dies ausreichend |
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| 22.11.2009, 15:40 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt soweit. Wie bereits gesagt gibt es in <pi> nur eine Untergruppe der Ordnung 6, da <pi> nach Definition zyklisch ist. Alles was man noch tun muss ist diese also zu finden. Und das ist eine leichte Rechnung |
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