vektorraum

22.11.2009, 16:08

scrabble01

vektorraum

hallo , habe ein tolles skript und endlose bücher weis aber leider nicht wie ich die aufgabe lösen soll!!!

Welche der folgenden Teilmengen von R3 ist ein Untervektorraum:
a) {(x ? y, x + y, y2)| x, y 2 R}
b) {(x, y, z)| x, y, z 2 R und x ? y + 3z = 0}
c) {(x, y, z)| x, y, z 2 R und x + y ? z2 = 0}

mir fehlt das lösungsschema! HILFE!!!

bin dankbar für alles....

22.11.2009, 16:35

Bakatan

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Bedenke, dass du dich immer noch "im" $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ befindest, d.h. alle Vektorraumaxiome gelten, bis auf das eventuell eine Operation aus der Teilmenge herausführen könnte.

Im Folgenden sei V die Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} (\alpha_1u+\alpha_2v)\in V~\forall v,u\in V,~\alpha_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist jede Linearkombination mit Vektoren aus V ebenfalls in V enthalten, es führt also kein Weg heraus.
Das der Kette nach zu beweisen ist aber einfacher:
$\begin{eqnarray*} (u+v)\in V~\forall u,v\in V;\quad \alpha u\in V~\forall u\in V,~\alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Ausserdem kann man die "?" und manche Zeichenaneinanderreihungen bei deinen Beispielen nicht entziffern. Eventuell LaTeX verwenden? Ist nicht so schwer.

22.11.2009, 17:25

scrabble01

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Welche der folgenden Teilmengen von R3 ist ein Untervektorraum:
a) {(x − y, x + y, y^2)| x, y element R}
b) {(x, y, z)| x, y, z element von R und x − y + 3z = 0}
c) {(x, y, z)| x, y, z element von R und x + y − z^2 = 0}

hoffe es ist diesmal richtig zu lesen, könntest du einen beweis führen mir mangelt es konkreten beweisführung.
danke

22.11.2009, 18:38

Bakatan

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Komplettlösungen gibt es hier idR nicht, siehe das Boardprinzip.
Unicode funktioniert hier nicht. Benutze LaTeX, es ist echt nicht schwer. Außerdem solltest du vor dem abschicken von Posts einfach kurz "Vorschau" drücken, dann hättest du auch bemerkt, dass es immer noch nicht lesbar ist.

Da google glücklicherweise Unicode-Nummern direkt umwandelt hefte ich mal an:
$\begin{eqnarray*} \text{a) }\lbrace(x-y,x+y,y²)\big|x,y\in\mathbb R\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{b) }\lbrace(x,y,z)\big|x-y+3z=0,~x,y,z\in\mathbb R\rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{c) }\lbrace(x,y,z)\big|x+y-z²=0,~x,y,z\in\mathbb R\rbrace \end{eqnarray*}$

Du kannst wenn du bei meinem Post "Zitat" drückst ansehen wie das geschrieben aussieht. Dann aber nicht absenden das Zitat, das gäbe wenig Sinn Augenzwinkern

Ohne irgendwelche Vorschläge von dir ist es schwer...
Betrachte doch z.B. einmal zwei Elemente aus a)
ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1-y_1 \\ x_1+y_1 \\ y_1²\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2-y_2 \\ x_2+y_2 \\ y_2²\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wieder in der Menge enthalten? Wenn nicht: kannst du ein Gegenbeispiel finden?
Ist für ein beliebiges Element aus a) auch jedes Vielfache $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\begin{pmatrix}x-y \\ x+y \\ y²\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wieder enthalten? Wenn nicht: kannst du ein Gegenbeispiel finden?

22.11.2009, 19:13

scrabble01

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mein problem ist, so doof es auch klingt wie beweise ich das es in der menge liegt oder nicht, muss ich das für x-y... jeweils extra machen?

ich weiss das eine untermenge keine leere sein kann und das die untermenge ein nullvektor haben muss, so aber da der nullvektor null ist und ich irgendein x oder y plus 0 nehme kommt ja das raus was ich möchte doch bewiesen is es nicht?!?

ich habe das mit dem beweisen anhand einer allgemeinen aussage mit allgemeiner anderen aussage noch nicht verstanden.

vorrechnen will ich auch gar nicht sonst kann ich es ja danach immer noch nicht!!!!!!!!!!!

23.11.2009, 20:27

Bakatan

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Zitat:

Original von Bakatan
Ohne irgendwelche Vorschläge von dir ist es schwer...
Betrachte doch z.B. einmal zwei Elemente aus a)
ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1-y_1 \\ x_1+y_1 \\ y_1²\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2-y_2 \\ x_2+y_2 \\ y_2²\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wieder in der Menge enthalten? Wenn nicht: kannst du ein Gegenbeispiel finden?
Ist für ein beliebiges Element aus a) auch jedes Vielfache $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\begin{pmatrix}x-y \\ x+y \\ y²\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wieder enthalten? Wenn nicht: kannst du ein Gegenbeispiel finden?

Wie sieht es denn jetzt damit aus? Du sollst es natürlich für beliebige u,v aus der Menge zeigen und nicht nur für 0 und ein beliebiges v.
Wenn es so aussieht als würde es nicht stimmen kannst du immer versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden. Bei der a) und zweiter Bedingung scheint das relativ gut zu funktionieren Augenzwinkern

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