Dimension und Basis von UVR vom VR der Polynome

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22.11.2009, 19:47	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Basis von UVR vom VR der Polynome Hallo, ich soll die Dimension und eine Basis des UVR der Polynome vom Grad <=4 angeben, wobei gelten soll p(0)=0 und p(1)=0. Allgemein sieht so ein Polynom ja aus: $\begin{eqnarray} a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ Was ja als Linearkombination von Basisvektoren gesehen werden kann. Wegen der Bedingung p(0)=0 muss ich doch a_0 auf 0 setzen und hab dann noch 4 Basisvektoren übrig: x, x^2,x^3,x^4. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, wie ich die zweite Bedingung "verarbeiten" soll. Man bräuchte doch immer noch die 4 Basisvektoren um alle Polynome für die p(1)=0 gilt, darstellen zu können?! Gruß und Danke
22.11.2009, 20:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Bedingung p(1)=0 schränkt den Raum nochmal um eine Dimension ein. Dies siehst du z.B. daran dass x an der Stelle 1 eben nicht 0 gibt. Meine Idee: Zeige dass x(x-1), x^2(x-1) und x^3(x-1) eine Basis deines UVR bilden
22.11.2009, 20:55	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, für den Nachweis der linearen Unabhängigkeit: $\begin{eqnarray} \lambda_1(x(x-1))+\lambda_2(x^2(x-1))+\lambda_3(x^3(x-1))=0 \end{eqnarray}$ führt zum Gleichungssystem : $\begin{eqnarray} -\lambda_1&=0 \\ \lambda_1-\lambda_2&=0 \\ \lambda_2-\lambda_3&=0 \\ \lambda_3&=0 \\<br /> \end{eqnarray}$ Mit den $\begin{eqnarray} \lambda_i=0 \end{eqnarray}$ als Lösung. Nachweis Erzeugendensystem: $\begin{eqnarray} -\lambda_1&=a_1 \\ \lambda_1-\lambda_2&=a_2 \\ \lambda_2-\lambda_3&=a_3 \\ \lambda_3&=a_4 \\<br /> \end{eqnarray}$ Mit der Lösung, dass $\begin{eqnarray} \lambda_3=a_4=-a_1-a_2-a_3 \end{eqnarray}$ ist, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} a_1+a_2+a_3+a_4=0 \end{eqnarray}$ und somit ist die Bedingung p(1)=0 immer erfüllt. Ok so?
22.11.2009, 21:02	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem ist schon klar nach Definition der Polynome. Passt aber
22.11.2009, 21:18	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Als nächstes soll jetzt in der Aufgabe Dimension und Basis vom linearen Spann von 1,x^2,x^4 angegeben werden. Hier müsste die Basis doch aus 1,x^2 und eben x^4 bestehen und daher dim=3 sein?!
22.11.2009, 21:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »

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22.11.2009, 21:46	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider geht die Aufgabe noch weiter ;-) Als nächstes soll jetzt Basis und Dimension vom Schnitt der beiden UVR angegeben werden. Hier müssen doch p(0)=0, p(1)=0 immernoch erfüllt sein. Als Basis hab ich jetzt $\begin{eqnarray} x^2-1 \text{und} x^4-1 \end{eqnarray}$ und somit dim=2.
22.11.2009, 22:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Keines der beiden Polynome erfüllt die Bedingung Berechne die Dimension des Schnittes einmal(Dimensionssatz!)
22.11.2009, 23:19	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
ja jetzt seh ichs auch, dass das keinen Sinn ergibt mit den beiden Basisvektoren ;-) Also um die Dimension des Schnitts auszurechnen bräuchte ich noch die Dimension von der Summe der beiden UVR, was aber die letzte Teilaufgabe dieser Aufgabe ist. (Zumindest laut unserem Skript)
22.11.2009, 23:51	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden UVR sind ja ungleich, deswegen müsst ich doch dann rechnen können mit V:= Vektorraum der Polynome mit Grad <=4 U:= UVR mit p(0)=0 und p(1)=1 W:= <1,x^2,x^4> dim(V)= dim(U)+dim(W)-dim( U $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ W) => dim( U $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ W)=1 als Basis $\begin{eqnarray} x^2(x^2-1) \end{eqnarray}$
23.11.2009, 07:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap hab ich mir auch so gedacht
23.11.2009, 15:15	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss jetzt ja die Dimension von U+w auch 5 sein. Von U und W stehen mir ja je 3 Basisvektoren zur Verfügung, muss ich jetzt aus diesen insgesamt 6, 5 linear unabhängige bestimmen und hab damit meine Basis?!
23.11.2009, 15:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wobei eine Basis des VR auch einfach als 1,x,x^2,x^3,x^4 gegeben ist, die "Monom"-Basis
23.11.2009, 15:30	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab als Basis jetzt folgende gewählt: $\begin{eqnarray} x(x-1), x^2(x-1),x^2,x^4,1 \end{eqnarray}$ der letzte x^3*(x-1) lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Die Monom-Basis ist natürlich "einfacher"

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