Beweis: Kosinussatz mit Skalarprodukt - kurze Frage

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Magic_Janson Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Kosinussatz mit Skalarprodukt - kurze Frage
Hallo Mathematiker,

ich bin angehalten worden den Kosinussatz mit Hilfe des Skalarporduktes zu beweisen. Folgendes habe ich mir überlegt:

Der Satz lautet: c² = a² + b² - 2 * a * b *cos (r)

Dann zeichne ich ein Dreieck mit den Seiten a, b und c. Die Seiten kann man ja auch als Vektoren verstehen. Der Betrag der Vektoren ist dann die Länge. Zeichne ich ein solches Dreieck, weiß ich, dass ist.

Ich komm aber im folgenden mit den Betragsstrichen usw durcheinander.
Kann man das folgende so gelten lassen:
|c| = |a| - |b|
|c|²= (|a|-|b|)² = |a|²-2*|a|*|b|+|b|²

und ich weiß: = |a|*|b|*cos (r) = a*b*cos (r)

Kann ich daraus auf das folgende schließen? Eigentlich ja nicht.

|c|²=|a|²+|b|²-2*a*b*cos (r)

Kann mir das jemand korrigieren evtl.?

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Kosinussatz mit Skalarprodukt - kurze Frage
Zitat:
Original von Magic_Janson
|c| = |a| - |b|


Das ist schon einmal falsch. Du mußt auch sorgfältig unterscheiden, ob du Vektoren oder ihre Beträge meinst, also oder . So etwas wie führt in diesem Kontext nur zur Konfusion. Hier nicht verwenden!

Dann lautet der Kosinussatz, wenn der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist:



Zentral beim Beweis ist die Regel , die mehrmals anzuwenden ist. Damit kannst du dich von den Beträgen trennen und die Regeln des Skalarprodukts anwenden. Beginne mit



und beachte meinen Tip.
 
 
Magic_Janson Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann hier einfach so weiterrechnen:







...?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gültigkeit des Cosinussatzes vorausgesetzt hättest Du damit gezeigt, dass immer ein rechter Winkel ist. Big Laugh

Nein, offensichtlich kann Deine Umformung nicht stimmen, der zweite Schritt ist einfach nur Unfug. Wieso hörst Du nicht auf Leopolds Tipp?


Gruß,
Reksilat.
Magic_Janson Auf diesen Beitrag antworten »

So nun hab ich die Lösung, ohne die Betragsstriche wäre es wesentlich einfacher gewesen.

Danke für die Hilfe. Augenzwinkern
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