Wahrscheinlichkeiten bei Würfelwurf

Neue Frage »

Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeiten bei Würfelwurf
Hallo, brauche eure Hilfe bei folgenden Aufgaben smile

Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
  1. genau 3-mal Augenzahl (AZ) 3, 1-mal 2
  2. genau 3-mal AZ 1
  3. genau 3-mal die gleiche AZ
  4. beim 1. Wurf AZ 1, beim 2. und 3. Wurf AZ 2, beim 4. Wurf AZ 3
  5. genau 1-mal AZ 1, 2-mal AZ 2, 1-mal AZ 3
  6. Augensumme ist höchstens 22
  7. alle vier Zahlen sind verschieden
  8. mindestens zwei Zahlen sind gleich
  9. genau ein Zweier-Pasch (genau zwei Zahlen sind gleich)
  10. zwei verschiedene Zweier-Pasche


Mein Ansatz:
Zunächst einmal die Mächtigkeit des Ergebnisraums. Meine Überlegung lautet: "Wir haben es zu tun, mit 4-Tupeln aus einer 6-Menge mit Wiederholung der Elemente." Also:



Für die Wahrscheinlichkeiten rechne ich



Nun geht's an die Mächtigkeiten der Ereignisräume:

A: Alle Kombinationen aus drei 3en und einer 2. Weil ich die 2 an vier Stellen setzen kann und die 3en nicht voneinander unterscheide, gibt's nur vier Möglichkeiten.




B: Für die vierte Augenzahl bleiben sechs Möglichkeiten, an vier Stellen (wie oben).




C: Für die Zahl, die 3-mal vorkommt, gibt es sechs Möglichkeiten, für die 4. noch fünf. Die 4. kann aber an vier Stellen stehen.



Ist das Zufall, dass man das mit dem Binomialkoeffizienten schreiben kann?


D: Die Zahlen aller Würfe sind festgelegt.




E: Hier weiß ich, wie ich die Permutationen bekomme, wenn zwei Elemente gleich sind.



Aber ist das wirklich die Mächtigkeit des Ereignisses?


F: Hier gehe ich über das Gegenereignis: Die höchste Augensumme ist 24 (4-mal 6, 1 Möglichkeit) die zweithöchste 23 (3-mal 6, 1-mal 5, 4 Möglichkeiten).






G: Glaube ich einfach: Alle Variationen von 4 aus 6




H: Das Gegenereignis zu G, oder?




I, J: Bei diesen beiden Aufgaben weiß ich überhaupt nicht, wo ich anfangen soll. Bin in Stochastik 'ne totale Niete (dabei ist Analysis so einfach) traurig

Gruß Wink
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

traurig Gar niemand, der mir helfen kann? traurig
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

A. Würde ich sagen ist korrekt.
B. Sollten es nicht nur 5 Möglichkeiten sein? Die 6te wäre doch wieder die 1. Und gefordert sind GENAU 3 Einsen.
C. Wäre es nicht noch einzubrechnen, dass du einen 4ten Wurf machen musst? Immerhin wäre 4 mal die gleiche Augenzahl keine legitime Lösung.
D. Richtig.
E. Mittels Baumdiagramm komme ich auf 12, also sollte deine Lösung richtig sein.
F. Müsste auch stimmen.
G. Richtig.
H. Richtig.
J. Gerade mittels Baumdiagramm gemacht und komme auf 96. Jetzt brauche ich nur noch eine mathematische Lösung.

Liebe Grüße. smile

_______________________
Keine Garantie auf Richtigkeit.
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
B. Sollten es nicht nur 5 Möglichkeiten sein? Die 6te wäre doch wieder die 1. Und gefordert sind GENAU 3 Einsen.


Stimmt. Dann ist

Zitat:
C. Wäre es nicht noch einzubrechnen, dass du einen 4ten Wurf machen musst? Immerhin wäre 4 mal die gleiche Augenzahl keine legitime Lösung.


verwirrt Hab ich das nicht? Für die eine Zahl, die 3-mal vorkommt gibt es sechs Möglichkeiten und für die vierte dann noch fünf (?) (und die kann an vier Stellen stehen (?))

Ich bin total überfordert damit, aus dem Aufgabentext herauszufinden, ob Kombinationen, Permutationen oder Variationen, mit oder ohne Wiederholung oder vielleicht was ganz anderes zur Lösung führt... Ich weiß in Kombinatorik nie, was ich mit was multiplizieren muss, welche Gleichung / Gesetzmäßigkeit angewandt wird und welche Zahlen in welche Variablen eingesetzt werden... traurig traurig

Muss jetzt leider Schluss machen und kann erst morgen wieder antworten Wink
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

E. Mittels Baumdiagramm komme ich auf . Das multipliziert mit 1296 ergibt 12.

J. Mittels Baumdiagramm komme ich auf . Das multipliziert mit 1296 ergibt 96.


Zitat:
Original von Yvonne91
verwirrt Hab ich das nicht? Für die eine Zahl, die 3-mal vorkommt gibt es sechs Möglichkeiten und für die vierte dann noch fünf (?) (und die kann an vier Stellen stehen (?))

Ich habe gerade meinen Fehler gefunden. Deine Lösung ist richtig, denke ich. Augenzwinkern
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie machst du das mit dem Baumdiagramm? Du kannst doch schlecht alle 1296 Permutationen aufzeichnen und dann abzählen. Du musst doch bei bestimmten Stufen nach einem bestimmten System abschätzen, oder?
 
 
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Zum Beispiel bei der E.

Da habe ich mir alle Wege die zum Erfolg führen aufgemalt.

Beim ersten Wurf wäre dies entweder eine 1, 2, oder 3.
Sollte du eine Eins würfeln, führen beim zweiten Wurf nur noch eine 1 oder eine 3 zu Erfolg. Wenn du das bis zum 4ten Wurf durchziehst, kommst du auf 12 "richtige" Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Pfade ist (1/6)^4, da du immer genau die richtige Zahl würfen musst.


Bei der F. ist es etwas anschaulicher.

Für den ersten Wurf ist es völlig egal was du würfelst. Also hast du nur einen Pfad mit einer 1.0 Wahrscheinlichkeit. Beim zweiten Wurf hast du eine 1/6 Wahrscheinlichkeit die gleiche Zahl zu würfeln, und eine 5/6 Wahrscheinlichkeit eine andere zu würfeln.

Würfelst du die gleiche, dann ist es beim dritten Wurf wieder egal und beim vierten hast du wieder eine 1/6 Chance das gleich zu würfeln. Die Wahrscheinlicheit für diesen Weg ist 1*1/6*1*1/6=1/36.

Würfelst du beim zweiten Wurf eine ander Zahl, dann hast du beim dritten Wurf eine 2/6 Chance eine der Zahlen zu würfeln die du schon hast. Und beim vierten eine 1/6 Chance, die letzte fehlende Zahl zu erwürfeln. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Weg ist 1/1*5/6*2/6*1/6=5/108.

Die beiden Werte musst du dann addieren, um das Ergebnis zu erhalten. Augenzwinkern
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Methu
Bei der F. ist es etwas anschaulicher.

Für den ersten Wurf ist es völlig egal was du würfelst. Also hast du nur einen Pfad mit einer 1.0 Wahrscheinlichkeit. Beim zweiten Wurf hast du eine 1/6 Wahrscheinlichkeit die gleiche Zahl zu würfeln, und eine 5/6 Wahrscheinlichkeit eine andere zu würfeln.

Würfelst du die gleiche, dann ist es beim dritten Wurf wieder egal und beim vierten hast du wieder eine 1/6 Chance das gleich zu würfeln. Die Wahrscheinlicheit für diesen Weg ist 1*1/6*1*1/6=1/36.

Würfelst du beim zweiten Wurf eine ander Zahl, dann hast du beim dritten Wurf eine 2/6 Chance eine der Zahlen zu würfeln die du schon hast. Und beim vierten eine 1/6 Chance, die letzte fehlende Zahl zu erwürfeln. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Weg ist 1/1*5/6*2/6*1/6=5/108.

Die beiden Werte musst du dann addieren, um das Ergebnis zu erhalten. Augenzwinkern


Das war jetzt das Ereignis J oder? 2 Zweier-Pasche.

Dann probier ich's mal mit der I:

Für die erste Zahl ist es egal, was ich würfle, also Wahrscheinlichkeit 1,0. Die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten die gleiche Zahl zu würfeln ist 1/6. Für die dritte Zahl bleiben dann noch fünf Möglichkeiten, also 1/5 und (es darf ja nur ein Pasch sein) für die vierte Zahl 1/4.
Das ist jetzt für den Fall, dass der Pasch nach zwei Würfen steht.
Ist dem nicht so, z.B. der Pasch steht erst im dritten Wurf gilt:
Erster Wurf egal (1,0), zweiter Wurf 5 Möglichkeiten (1/5), dritter Wurf gleich der ersten Zahl (1/6), vierter Wurf verschieden von allen (1/4).
Zum Schluss noch der letzte Fall. Hier wieder erster Wurf 1,0, zweiter Wurf 1/5, dritter Wurf 1/4, letzter Wurf 1/6 (jetzt kommt der Pasch).

Also folgt:


Damit komme ich auf die Mächtigkeit von I (die ist zwar nicht gefragt, aber...)



verwirrt Das muss doch eine ganze Zahl sein. Wo ist denn der Fehler?
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne91
Das war jetzt das Ereignis J oder? 2 Zweier-Pasche.


Halt, moment. Das war nicht J, das war C, drei Augenzahlen sind gleich.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne91
Das war jetzt das Ereignis J oder? 2 Zweier-Pasche.

Ja du hast Recht, es war J. 2 Zweierpasche.

Zitat:
Original von Yvonne91Dann probier ich's mal mit der I:

Für die erste Zahl ist es egal, was ich würfle, also Wahrscheinlichkeit 1,0. Die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten die gleiche Zahl zu würfeln ist 1/6. Für die dritte Zahl bleiben dann noch fünf Möglichkeiten, also 1/5 und (es darf ja nur ein Pasch sein) für die vierte Zahl 1/4.
Das ist jetzt für den Fall, dass der Pasch nach zwei Würfen steht.
Ist dem nicht so, z.B. der Pasch steht erst im dritten Wurf gilt:
Erster Wurf egal (1,0), zweiter Wurf 5 Möglichkeiten (1/5), dritter Wurf gleich der ersten Zahl (1/6), vierter Wurf verschieden von allen (1/4).
Zum Schluss noch der letzte Fall. Hier wieder erster Wurf 1,0, zweiter Wurf 1/5, dritter Wurf 1/4, letzter Wurf 1/6 (jetzt kommt der Pasch).

Also folgt:


Damit komme ich auf die Mächtigkeit von I (die ist zwar nicht gefragt, aber...)



verwirrt Das muss doch eine ganze Zahl sein. Wo ist denn der Fehler?

Dein Anfang ist richtig. Also das es für den ersten Würfel egal ist. Deine zweite Aussage, dass du auf den zweiten Wurf die Chance von 1/6 hast, einen Pasch zu würfeln hast, ist auch korrekt. Dannach wird es aber leider falsch. Überleg dir mal, wie groß die Chancen sind, dass du, nachdem du beim zweiten Wurf schon deinen Pasch hattest, beim dritten und vierten weder einen zweiten Pasch würfelst, noch die erste Zahl ein weiteres Mal erhälst. smile

Und noch ein kleiner Tipp. Die Wahrscheinlichkeiten sind für alle 3 Pfade die zum Erfolg führen (immerhin stimmt deine Anzahl Augenzwinkern ) verschieden. Probier du mal weiter rum, ich zeichne dir derweil ein Baumdiagramm.
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja du hast Recht, es war J. 2 Zweierpasche.

Doch nicht C? Ok.

Also beim ersten Wurf ist es egal -> Wahrscheinlichkeit 1,0
Sagen wir mal ich würfle eine eins.
Beim zweiten Wurf gleich wieder eine eins-> Wahrscheinlichkeit 1/6
Jetzt steht der Pasch, die eins darf nicht mehr kommen. Es bleiben noch zwei, drei, vier, fünf und sechs (da ist mein Fehler smile ) -> Wahrscheinlichkeit dritter Wurf 5/6 (keine eins)
Jetzt kommt sag ich mal 'ne zwei, dann bleiben noch drei, vier, fünf und sechs -> Wahrscheinlichkeit vierter Wurf: 4/6

Das Ganze dann analog zu meinem obigen Post mal drei...




Richtig?

Gibt's auch 'ne Möglichkeit mittels Kombinatorik auf die Mächtigkeit zu kommen?
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es ist wirklich J. Schau dir das was da steht noch einmal genau an. smile

Also. ist ist in der Tat richtig für den Fall, dass der Pasch bereits beim zweiten Wurf entsanden ist. Aber die Wahrscheinlichkeiten sind für die beiden anderen "möglichen Wege" nicht identisch, wie ich bereits oben beschrieben habe. Spiel das Spiel doch jetzt einmal durch, indem du guckst, was passiert, wenn du mit dem zweiten Wurf noch keinen Pasch hast. smile

Ob es mittels Kombinatorik geht, weiß ich gerade nicht mehr. Ist schon ein bisschen her und ich habe solche Aufgaben immer mittels Baumdiagramm gelöst...

Edit: Das sollte die richtige Lösung sein. Erst anschaun, wenn du nicht mehr weiter weißt. :P

http://img4.imageshack.us/img4/6804/diagrammy.png
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Och menno... Ups

Also nochmal:





Meine Überlegung: Erster Summand wie oben, zweiter Summand: Erster Wurf egal (1,0) zweiter Wurf ungleich ersterem (5/6), dritter Wurf einer der beiden (2/6), vierter Wurf letzte noch fehlende Zahl (1/6). Jetzt hab ich z.B. 1-2-1-2. Weil aber 1-2-2-1 ja auch möglich ist und der gleichen Überlegung folgt, das Ganze mal zwei.
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne91
Och menno... Ups

Also nochmal:





Meine Überlegung: Erster Summand wie oben, zweiter Summand: Erster Wurf egal (1,0) zweiter Wurf ungleich ersterem (5/6), dritter Wurf einer der beiden (2/6), vierter Wurf letzte noch fehlende Zahl (1/6). Jetzt hab ich z.B. 1-2-1-2. Weil aber 1-2-2-1 ja auch möglich ist und der gleichen Überlegung folgt, das Ganze mal zwei.


Die 5/6 sind richtig. Die 2/6 sind richtig. Aber die 1/6 sind leider falsch. :P Überleg noch mal ganz genau, was, wenn diese beiden Sachen passieren, beim letzten Wurf fallen muss, damit die Vorraussetzungen erfüllt sind. smile

Oben ist die Lösung. Aber wie gesagt. Erst bei absoluter Verzweiflung. :P
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe zu, ich hab gespickt. Mich verwirrt z.B. der untere Weg in deiner Abbildung, der zu 2 Paschen führt. Gehen wir's mal der Reihe nach durch.
Da steht: 1 * 1/6 * 5/6 * 2/6

1 für den ersten Wurf, der ist ja egal. Dann die selbe Zahl nochmal wie im ersten Wurf, daher 1/6. Dann irgendeine andere Zahl als die ersten zwei, daher 5/6. Aber warum nun 2/6? Es muss doch jetzt die gleiche Zahl kommen, wie im dritten Wurf. Nur so entstehen zwei Pasche. Bei 2/6 räume ich ja der Zahl aus den ersten beiden Würfen noch eine Chance ein und dann habe ich nicht nur zwei Zweier-Pasche, sondern auch Dreier-Pasche mit dabei. verwirrt verwirrt verwirrt
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne91
Ich gebe zu, ich hab gespickt. Mich verwirrt z.B. der untere Weg in deiner Abbildung, der zu 2 Paschen führt. Gehen wir's mal der Reihe nach durch.
Da steht: 1 * 1/6 * 5/6 * 2/6

1 für den ersten Wurf, der ist ja egal. Dann die selbe Zahl nochmal wie im ersten Wurf, daher 1/6. Dann irgendeine andere Zahl als die ersten zwei, daher 5/6. Aber warum nun 2/6? Es muss doch jetzt die gleiche Zahl kommen, wie im dritten Wurf. Nur so entstehen zwei Pasche. Bei 2/6 räume ich ja der Zahl aus den ersten beiden Würfen noch eine Chance ein und dann habe ich nicht nur zwei Zweier-Pasche, sondern auch Dreier-Pasche mit dabei. verwirrt verwirrt verwirrt


Korrekt. Fehler meinerseits. Auch dort müsste 2 Pasche oder ein 3er-Pasch stehen. Aber sonst müsste es richtig sein und für die Wahrscheinlichkeiten macht das ja keinen Unterschied. Sonst alles klar? smile
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, aber ich brauche ja nur zwei Zweier-Pasche, ohne Dreier-Pasch. Also, letzter Versuch für heute:



Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, das ist ja gar keine Lösung für I, sondern für J Ups
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne91
Na ja, aber ich brauche ja nur zwei Zweier-Pasche, ohne Dreier-Pasch. Also, letzter Versuch für heute:




Für J ist meiner Meinung nach: richtig. Aber lasse mich gerne berichtigen. Ich habe da noch ein Baumdiagramm auf dem Zettel neben mir. Big Laugh

Also. Bist du mit meiner Lösung (Baumdiagramm) die ich gepostet habe einverstanden? smile
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum im zweiten Summanden 1/6 * 1/6 ? Fehlt da nicht eine Verzweigung, sprich ein Würfelwurf?
Es ist schon viel zu spät. Ich gehör eigentlich schon lange ins Bett. Ich schreib morgen Geschichte und werd mich deshalb jetzt mal schlafen legen. Vielleicht fällt's mir ja im Traum noch ein Augenzwinkern
Schläfer
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Der ist aber 1/1. smile Es berechnet sich: 1/1*1/6*1/1*1/6. Denn wenn du beim zweiten Wurf schon deinen Pasch hast, dann ist es egal, was du beim dritten Wurf würfelst. Augenzwinkern Der andere Weg ist aber klar oder?

Gutes Nächtle, süße Träume und viel Erfolg morgen bei der Klausur. smile
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
... wenn du beim zweiten Wurf schon deinen Pasch hast, dann ist es egal, was du beim dritten Wurf würfelst.

Halt Moment, wenn ich bei den ersten beiden Würfen zwei Einser geworfen hab, dann darf in den darauf folgenden kein Einser mehr kommen. Ansonsten hätte ich ja drei oder gar vier Einser und nicht zwei Pasche... verwirrt
Methu Auf diesen Beitrag antworten »

Neeein. Ich wusste, dass ich einen Fehler gemacht habe. Vier Einser sind ja genau genommen nicht 2 Pasche. Wobei man sich darüber streiten kann..

Naja, dann wäre die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad.
Yvonne91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann noch ein Pasch, Ergeignis I. Das sollte doch einfacher gehen.



1. Summand: Der Pasch steht nach zwei Würfen, die letzten beiden Würfe sind egal, aber verschieden voneinander.
2. Summand: Der Pasch steht nach drei Würfen, der dritte Wurf kann daher irgendeine der ersten beiden Zahlen zeigen, der vierte muss eine andere Zahl zeigen.
3. Summand: Der Pasch steht nach vier Würfen, die ersten drei Würfe zeigen unterschiedliche Zahlen, der vierte eine dieser drei Zahlen.
Alles zusammen ergibt die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Pasch.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »