Konvergenz einer Reihe

23.11.2009, 18:15

Bullet1000

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Konvergenz einer Reihe

Hallo,

wir haben heute in der Analysis-Vorlesung mit dem Thema "Unendliche Reihen" begonnen und sollen nun in der Übungsaufgabe die KOnvergenz zeigen und deren Summe bestimmen.
Leider ist mir noch nciht so ganz bewusst, wie ich das bewerkstellige.
Also die Reihe sieht folgendermaßen aus
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{k=1}^n~a^{2k+1}/{(4+a^2)}^{k+1}<br /> \end{eqnarray*}$

nur, dass die Summe bis unendlich geht (wusste nicht, wie ich das Zeichen ändere)

Na ja, auf jeden Fall muss ich nun zum Lösen die Folge der Partialsummen betrachten. Aber irgendwie komme ich da auch ncihts, was einen Grenzwert haben könnte. Wahrscheinlich kenne ich die Tricks blos noch nciht, wie ich den Term geschickt umforme.

Hat jemand vone uch zufällig einen kleinen Hinweis parat?
(und kann mir gleich noch zeigen, wie ich das "Unendlich-symbol" mit LaTeX darstellen kann" ;-)

mfG

Bullet1000

23.11.2009, 18:18

Mazze

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Zitat:

Na ja, auf jeden Fall muss ich nun zum Lösen die Folge der Partialsummen betrachten.

Och, ich würde das Ding einfach als geometrische Reihe ausdrücken :

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2(k+1)}}{(4 + a^2)^{k+1}} = \left(\frac{a^2}{4 + a^2}\right)^{k+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch eine Indexverschiebung, und den Grenzwert der geometrischen Reihe anwenden.

edit:

Das Unendlichsymbol bekommst Du mit \infty

23.11.2009, 18:39

Bullet1000

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OK, soetwas in der Art hatte ich auch schon.

Aber es gibt doch dabei ein Problem:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{a^{2k+1}}{(4+a^2)^{k+1}}<br /> \end{eqnarray*}$

ist doch nicht

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{a^{2(k+1)}}{(4+a^2)^{k+1}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

23.11.2009, 18:43

Mazze

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Das macht kaum einen Unterschied, dann machst Du halt

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k+1}}{(4+a^2)^{k+1}} = \frac{(a^2)^k*a}{(4 + a^2)(4+a^2)^{k}} = \frac{a}{(4 + a^2)}\left(\frac{a^2}{4 + a^2}\right)^k \end{eqnarray*}$

Den Konstanten Faktor ziehst Du aus der Reihe raus. Dann Indexverschiebung und geometrische Reihe anwenden.

23.11.2009, 18:46

Zizou66

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Zitat:

Aber es gibt doch dabei ein Problem:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{a^{2k+1}}{(4+a^2)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

ist doch nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2(k+1)}}{(4+a^2)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Der Reihenwert mit dieser Folgenvorschrift ist aber größer als die von dir angegebene. Majorantenkriterium...

EDIT: Mist, aber nur für a>1, sorry.

23.11.2009, 18:57

Bullet1000

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ok, cool danke,

also genau das hatte ich vorhin auch schon auf meinem Zettel stehen.
Und auch die geometrische Reihe haben wir behandelt in der Vorlesung im bereich der komplexe Zahlen.

Da hatten wir

$\begin{eqnarray*} <br /> s(n) = 1+z+z^2+z^3+...+z^n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Reihe konvergierte gegen

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1-z}<br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich das jetzt auf mein Problem anwenden?

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23.11.2009, 18:58

Mazze

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Reelle Zahlen sind auch komplexe Zahlen, mit Imaginärteil 0 halt Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2009, 19:03

Bullet1000

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ja, das war mir schon bekannt ;-)

aber in dem Falle galt, dass |z|<1

Hier gilt ja a>0

Ich weiß irgendwie nicht so richtig.

Irgendwie sieht mit das ganze grundverschieden aus.

23.11.2009, 19:04

Mazze

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Offensichtlich ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4 + a^2} < 1 \end{eqnarray*}$

Falls es dir einfacher fällt setze einfach

$\begin{eqnarray*} z = \frac{a^2}{4 + a^2} \end{eqnarray*}$

23.11.2009, 19:16

Bullet1000

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OK, also

$\begin{eqnarray*} <br /> (\frac{a^2}{4+a^2})^k < \frac{a^2}{4+a^2} < 1<br /> \end{eqnarray*}$

Das bedeutet also, dass

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{k \to \infty} (\frac{a^2}{4+a^2})^k = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Das muss ja auch so sein.

Aber wie kann ich jetzt die Summierung der Folgeglieder fassen?

23.11.2009, 19:19

Mazze

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Zitat:

Aber wie kann ich jetzt die Summierung der Folgeglieder fassen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{a^2}{a^2 + 4}\right)^k = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{a^2}{a^2 + 4}\right)^{k + 1} = \frac{a^2}{a^2 + 4}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{a^2}{a^2 + 4}\right)^k = \frac{a^2}{a^2 + 4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{a^2}{a^2 + 4}} \end{eqnarray*}$

Einfach nur die geometrische Summenformel benutzt.

23.11.2009, 19:53

Bullet1000

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OK, also ich dneke mal, dass es so ungefähr stimmen sollte:
gesucht ist also
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{k=1}^\infty~\frac{a^{2k+1}}{(4+a^2)^{k+1}}<br /> <br /> <br /> s(n) = \sum_{k=1}^n~\frac{a^{2k+1}}{(4+a^2)^{k+1}} = \frac{a}{4+a^2} *\sum_{k=1}^n~\left(\frac{a^2}{4+a^2}\right)^k<br /> <br /> \sum_{k=1}^n~\left(\frac{a^2}{4+a^2}\right)^k = \frac{a^2}{a^2+4} \cdot \frac{1}{1-\frac{a^2}{a^2+4}} = \frac{a^2}{4}<br /> <br /> \lim_{n \to \infty} s(n) = \frac{a}{4+a^2} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^3}{4 \cdot (4+a^2)}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Hab ich irgendwo etwas vergessen oder nciht beachtet?

23.11.2009, 19:58

klarsoweit

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Nach mehreren Beiträgen mir verunglücktem Latexcode solltest du eigentlich selber merken, daß man Zeilenschaltungen in dem Code vermeiden sollte. smile

smile

23.11.2009, 19:59

Bullet1000

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hehe... danke danke...

Ist mein erster Versuch heute, was LaTeX angeht. Hatte damit noch nie zu tun. Aber find das eigentlich ganz cool.

Stimmt die Betrachtung der Konvergenz jetzt soweit?

Danke nochmal an euch

23.11.2009, 20:14

Mazze

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Zitat:

Stimmt die Betrachtung der Konvergenz jetzt soweit?

Jap, ich komme aufs gleiche.

23.11.2009, 20:21

Bullet1000

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Cool,

Danke für die Hilfe.
Glaub jetzt hab ich das mit der geometrischen Reihe geschnallt. ;-)
Mit LaTeX muss ich noch ein bissl üben. :-D

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